Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2025 · Julio

Enunciado

Un grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de un gimnasio de judo, está compuesto por un 55% de mujeres y el resto hombres. Se sabe que el 15% del grupo es cinturón verde y que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde.

a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde?

b) (0,75 puntos) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer.

c) (0,75 puntos) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(V \mid H) = \frac{4}{45} \approx 0{,}0889 \;\Rightarrow\; 8{,}89\ \%}

\boxed{\text{b)}\ P(M \mid V) = \frac{11}{15} \approx 0{,}7333}

\boxed{\text{c)}\ P(H \cap V) = 0{,}04}

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Estrategia

Definimos los sucesos

M

(mujer),

H

(hombre) y

V

(cinturón verde) y traducimos los datos:

P(M) = 0{,}55

P(H) = 0{,}45

P(V) = 0{,}15

P(V \mid M) = \frac15 = 0{,}2

. Lo desconocido es

P(V \mid H)

, que se despeja del teorema de la probabilidad total (apartado a)).

En b) se pide la probabilidad de la causa sabiendo el efecto: teorema de Bayes. En c), sin información adicional, el remitente es un miembro cualquiera del grupo y se pide la probabilidad de la intersección

H \cap V

Desarrollo

Sucesos:

M

= "ser mujer",

H

= "ser hombre" (

H = \overline{M}

V

= "ser cinturón verde".

Datos:

P(M) = 0{,}55, \qquad P(H) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45, \qquad P(V) = 0{,}15, \qquad P(V \mid M) = \frac15 = 0{,}2

Diagrama de árbol: primera rama

M

(0,55) o

H

(0,45); de cada una,

V

\overline V

, con

P(V \mid M) = 0{,}2

P(V \mid H) = p

desconocida.

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(V) = P(M)\,P(V \mid M) + P(H)\,P(V \mid H)

0{,}15 = 0{,}55\cdot 0{,}2 + 0{,}45\,p = 0{,}11 + 0{,}45\,p \;\Longrightarrow\; p = \frac{0{,}04}{0{,}45} = \frac{4}{45} \approx 0{,}0889

8{,}89\ \%

de los hombres son cinturón verde (aproximadamente).

b) Por el teorema de Bayes:

P(M \mid V) = \frac{P(M)\,P(V \mid M)}{P(V)} = \frac{0{,}55\cdot 0{,}2}{0{,}15} = \frac{0{,}11}{0{,}15} = \frac{11}{15} \approx 0{,}7333

c) Sin información sobre el remitente, es un miembro cualquiera del grupo, así que se pide la probabilidad de la intersección:

P(H \cap V) = P(H)\,P(V \mid H) = 0{,}45\cdot\frac{4}{45} = 0{,}04

(es también

P(V) - P(M \cap V) = 0{,}15 - 0{,}11 = 0{,}04

).

Comprobación.

P(M \cap V) + P(H \cap V) = 0{,}11 + 0{,}04 = 0{,}15 = P(V)

✓, y

P(M \mid V) + P(H \mid V) = \frac{11}{15} + \frac{4}{15} = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue los tres tipos de dato: «el 15 % del grupo es verde» es $P(V)$ ; «una quinta parte de las mujeres» es $P(V \mid M)$ ; «hombre y verde» es $P(H \cap V)$ . Confundir la condicionada con la intersección es el error más común.

En a) el 15 % no es el porcentaje de hombres verdes: hay que despejarlo de la probabilidad total.