Matemáticas IIFácil2,5 pts

Distribución normal

Castilla y León · 2025 · Julio

Enunciado

El tamaño de las truchas que hay en el río Tormes, entre el pantano de Santa Teresa y su paso por Fresno Alhándiga, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 28 cm y desviación típica de 6 cm.

a) (1,5 puntos) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm.

b) (1 punto) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(19 \le X \le 40) = 0{,}9104 \;\Rightarrow\; 91{,}04\ \%}

\boxed{\text{b)}\ P(X > 42 \mid X > 38) = \frac{0{,}0099}{0{,}0475} \approx 0{,}2084}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

X

al tamaño de una trucha:

X \sim N(28,\ 6)

. En a) tipificamos los dos extremos con

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

y usamos la tabla de la

N(0, 1)

con la simetría para el extremo negativo; el porcentaje es la probabilidad por 100.

El apartado b) es una probabilidad condicionada:

P(X > 42 \mid X > 38)

. Como medir más de 42 cm implica medir más de 38 cm, la intersección es simplemente

\{X > 42\}

, y queda un cociente de dos colas de la normal.

Desarrollo

Sea

X

= "tamaño en cm de una trucha de ese tramo del río", con

X \sim N(\mu = 28;\ \sigma = 6)

, y

Z \sim N(0, 1)

.

a) Tipificamos:

z_1 = \frac{19 - 28}{6} = -1{,}5, \qquad z_2 = \frac{40 - 28}{6} = 2

P(19 \le X \le 40) = P(-1{,}5 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z < -1{,}5)

Por la simetría de la normal,

P(Z < -1{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}5)

. En la tabla,

P(Z \le 2) = 0{,}9772

P(Z \le 1{,}5) = 0{,}9332

P(19 \le X \le 40) = 0{,}9772 - (1 - 0{,}9332) = 0{,}9772 - 0{,}0668 = 0{,}9104

Es decir, el

91{,}04\ \%

de las truchas mide entre 19 y 40 cm.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Piden

P(X > 42 \mid X > 38) = \frac{P(X > 42 \,\cap\, X > 38)}{P(X > 38)} = \frac{P(X > 42)}{P(X > 38)}

porque si una trucha mide más de 42 cm, también mide más de 38 cm:

\{X > 42\} \subset \{X > 38\}

.

Tipificamos (redondeando

z

a dos decimales, como en la tabla):

z = \frac{38 - 28}{6} = \frac{10}{6} \approx 1{,}67, \qquad z = \frac{42 - 28}{6} = \frac{14}{6} \approx 2{,}33

P(X > 38) = 1 - P(Z \le 1{,}67) = 1 - 0{,}9525 = 0{,}0475

P(X > 42) = 1 - P(Z \le 2{,}33) = 1 - 0{,}9901 = 0{,}0099

P(X > 42 \mid X > 38) = \frac{0{,}0099}{0{,}0475} \approx 0{,}2084

Comprobación de sentido. Pocas truchas pasan de 38 cm (un

4{,}75\ \%

), y de esas grandes, alrededor de una de cada cinco pasa además de 42 cm: el resultado es coherente.

Consejo

En b) la clave es ver que $\{X > 42\}$ está dentro de $\{X > 38\}$ : la intersección es el suceso más pequeño. Muchos multiplican $P(X > 42)\cdot P(X > 38)$ , como si fueran independientes, y no lo son.

Escribe siempre la fórmula de la condicionada antes de sustituir: la corrección la puntúa aunque luego falle una lectura de la tabla.

Paso 1 de 3

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