Matemáticas IIMedio2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla y León · 2025 · Julio

Enunciado

Sean el plano

\pi \equiv x + y - z = 2

y la recta

r \equiv \dfrac{x - 1}{-3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{-1}

.

a) (1,5 puntos) Calcular la ecuación de un plano

\pi'

paralelo al plano

\pi

y que esté a una distancia de

2\sqrt{3}

unidades de la recta

r

. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta.

b) (1 punto) Calcular la ecuación de un plano

\pi''

perpendicular al plano

\pi

y que pasa por los puntos

P(1, 0, 1)

Q(0, 1, 0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \pi'_1 \equiv x + y - z = 5,\quad \pi'_2 \equiv x + y - z = -7\ \ (\text{no es único: hay dos})}

\boxed{\text{b)}\ \pi'' \equiv y + z = 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) lo primero es ver que la recta es paralela a

\pi

(su vector director es perpendicular al normal del plano). Así, la distancia de

r

a cualquier plano paralelo a

\pi

es la misma desde todos sus puntos y basta con calcularla desde un punto de

r

. Los planos paralelos a

\pi

son

x + y - z = D

; imponer la distancia lleva a una ecuación con valor absoluto, que da dos soluciones.

En b) el plano contiene el vector

\overrightarrow{PQ}

y, por ser perpendicular a

\pi

, también el vector normal de

\pi

. Su normal es el producto vectorial de los dos.

Desarrollo

Datos:

\vec n = (1, 1, -1)

normal de

\pi

; punto de

r

A = (1, 0, 2)

, y vector director

\vec v = (-3, 2, -1)

.

a) Posición de $r$ respecto de $\pi$ .

\vec v \cdot \vec n = -3 + 2 + 1 = 0

luego

r

es paralela a

\pi

o está contenida en él. Como

A = (1, 0, 2)

1 + 0 - 2 = -1 \neq 2

A \notin \pi

: la recta es paralela a

\pi

. Por eso también es paralela a todo plano paralelo a

\pi

, y su distancia a él es la de cualquiera de sus puntos.

Planos paralelos a $\pi$ :

\pi' \equiv x + y - z - D = 0

. Imponemos

d(r, \pi') = d(A, \pi') = 2\sqrt3

d(A, \pi') = \frac{|1 + 0 - 2 - D|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1 - D|}{\sqrt3} = 2\sqrt3 \;\Longrightarrow\; |D + 1| = 6

D + 1 = 6 \Rightarrow D = 5 \qquad \text{o} \qquad D + 1 = -6 \Rightarrow D = -7

Hay dos planos:

\pi'_1 \equiv x + y - z = 5, \qquad \pi'_2 \equiv x + y - z = -7

No es único: a una distancia dada de la recta hay un plano paralelo a cada lado de ella (la recta queda entre los dos, a

2\sqrt3

de cada uno).

Comprobación.

d(A, \pi'_1) = \frac{|1 - 2 - 5|}{\sqrt3} = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3

✓ y

d(A, \pi'_2) = \frac{|1 - 2 + 7|}{\sqrt3} = 2\sqrt3

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) El plano

\pi''

pasa por

P(1, 0, 1)

y contiene los vectores

\overrightarrow{PQ} = (0 - 1,\ 1 - 0,\ 0 - 1) = (-1, 1, -1), \qquad \vec n = (1, 1, -1)

(el segundo, porque

\pi'' \perp \pi

). No son proporcionales, así que determinan el plano. Su vector normal:

\overrightarrow{PQ} \times \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 + 1)\,\vec i - (1 + 1)\,\vec j + (-1 - 1)\,\vec k = (0, -2, -2)

Tomamos el proporcional

(0, 1, 1)

. El plano es

y + z + D = 0

y, como pasa por

P

0 + 1 + D = 0

D = -1

\pi'' \equiv y + z = 1

Comprobación.

P

0 + 1 = 1

✓;

Q

1 + 0 = 1

✓;

(0, 1, 1)\cdot(1, 1, -1) = 0 + 1 - 1 = 0

, así que

\pi'' \perp \pi

✓.

Consejo

Antes de hablar de la distancia de una recta a un plano, comprueba que son paralelos: si se cortaran, la distancia sería $0$ y el enunciado no tendría sentido. Aquí $\vec v \cdot \vec n = 0$ .

La ecuación $|D + 1| = 6$ tiene dos soluciones: quedarse con una es perder la pregunta «¿es único?», que vale parte de la nota.