Rectas y planos

Datos: punto de la recta $P_r = (1, 1, 0)$, vector director $\vec v = (-1, -1, 2)$; vector normal del plano $\vec n = (5, m, 1)$.

a) Producto escalar:$$\vec v \cdot \vec n = (-1)\cdot 5 + (-1)\cdot m + 2\cdot 1 = -3 - m$$$$\vec v \cdot \vec n = 0 \iff m = -3$$Caso $m \neq -3$. $\vec v$ no es perpendicular a $\vec n$, así que la recta no es paralela al plano: $r$ y $\pi$ son secantes (se cortan en un punto). Sustituyendo el punto genérico $(1 - t,\ 1 - t,\ 2t)$ en $\pi$:$$5(1 - t) + m(1 - t) + 2t = 2 \;\Longrightarrow\; (3 + m) - (3 + m)\,t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1$$El punto de corte es $(0, 0, 2)$ para todo $m \neq -3$.

Caso $m = -3$. $\vec v \perp \vec n$, así que la recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos si $P_r = (1, 1, 0)$ está en $\pi \equiv 5x - 3y + z = 2$:$$5\cdot 1 - 3\cdot 1 + 0 = 2 \quad ✓$$$P_r \in \pi$, luego la recta está contenida en el plano. (Con el sistema: la ecuación en $t$ queda $0 = 0$, que se cumple para todo $t$.)

b) Con $m = 1$, $\vec n = (5, 1, 1)$. El plano $\pi'$ contiene a $r$, así que pasa por $P_r = (1, 1, 0)$ y contiene la dirección $\vec v = (-1, -1, 2)$; y al ser perpendicular a $\pi$, contiene también la dirección de $\vec n$. Su vector normal es$$\vec n' = \vec v \times \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - 2)\,\vec i - (-1 - 10)\,\vec j + (-1 + 5)\,\vec k = (-3,\ 11,\ 4)$$El plano es $-3x + 11y + 4z + D = 0$, y como pasa por $(1, 1, 0)$: $-3 + 11 + D = 0$, es decir, $D = -8$:$$\pi' \equiv -3x + 11y + 4z = 8$$Comprobación. $\vec n' \cdot \vec n = -15 + 11 + 4 = 0$, así que $\pi' \perp \pi$ ✓. $\vec n' \cdot \vec v = 3 - 11 + 8 = 0$ y $P_r \in \pi'$, así que $r \subset \pi'$ ✓.