Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Castilla y León · 2025 · Julio

Enunciado

Se considera la función

f(x) = x^2 e^{-x}

.

a) (1,5 puntos) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.

b) (1 punto) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función

f

y el eje de abscisas en el intervalo

[0, 2]

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \operatorname{Dom} f = \mathbb{R};\ \text{decrece en } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty),\ \text{crece en } (0, 2)}

\boxed{\text{mín. } (0, 0);\ \text{máx. } \left(2, \tfrac{4}{e^2}\right);\ \text{A.H. } y = 0 \text{ en } +\infty;\ \text{sin A.V. ni oblicuas}}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = 2 - \frac{10}{e^2} \approx 0{,}65\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la función es producto de un polinomio y una exponencial, así que está definida y es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

: no hay asíntotas verticales. La monotonía sale del signo de

f'(x)

, que se factoriza sacando

e^{-x}

(siempre positiva). Para las asíntotas horizontales y oblicuas estudiamos los límites en

+\infty

y en

-\infty

por separado, porque la exponencial se comporta de forma muy distinta en cada lado.

En b) la función es no negativa en

[0, 2]

, así que el área es directamente la integral, que se calcula por partes dos veces.

Desarrollo

a) Dominio.

x^2

e^{-x}

están definidas en todo

\mathbb{R}

, luego

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}

, y

f

es continua y derivable en

\mathbb{R}

.

Monotonía. Por la regla del producto,

f'(x) = 2x\,e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x)\,e^{-x}

Como

e^{-x} > 0

siempre,

f'(x) = 0 \iff x = 0

x = 2

. Estudiamos el signo de

x(2 - x)

	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
$x$	$-$	$+$	$+$
$2 - x$	$+$	$+$	$-$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

f

es decreciente en

(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)

y creciente en

(0, 2)

.

Extremos relativos. En

x = 0

la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en

(0, f(0)) = (0, 0)

. En

x = 2

pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en

\left(2,\ f(2)\right) = \left(2,\ \frac{4}{e^2}\right) \approx (2;\ 0{,}54)

Asíntotas.

Verticales: no tiene, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .
En $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^{x}} = 0$ (la exponencial crece más rápido que cualquier potencia; también, aplicando L'Hôpital dos veces, $\lim \frac{2}{e^x} = 0$ ). Asíntota horizontal $y = 0$ cuando $x \to +\infty$ .
En $-\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty)\cdot(+\infty) = +\infty$ , así que no hay asíntota horizontal por ese lado. Tampoco oblicua, porque

m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} x\,e^{-x} = (-\infty)\cdot(+\infty) = -\infty

no es un número real.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) En

[0, 2]

f(x) = x^2 e^{-x} \ge 0

, así que la región queda por encima del eje y el área es

\text{Área} = \int_0^2 x^2 e^{-x}\,dx

Primitiva por partes con

u = x^2

dv = e^{-x}\,dx

(

du = 2x\,dx

v = -e^{-x}

\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x\,e^{-x}\,dx

Otra vez por partes con

u = 2x

dv = e^{-x}\,dx

(

du = 2\,dx

v = -e^{-x}

\int 2x\,e^{-x}\,dx = -2x\,e^{-x} + \int 2e^{-x}\,dx = -2x\,e^{-x} - 2e^{-x}

Juntando,

F(x) = \int x^2 e^{-x}\,dx = -\left(x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} + C

Comprobación.

F'(x) = -(2x + 2)e^{-x} + (x^2 + 2x + 2)e^{-x} = x^2 e^{-x}

✓.

Por la regla de Barrow:

\text{Área} = F(2) - F(0) = -10\,e^{-2} - (-2) = 2 - \frac{10}{e^2} \approx 0{,}65\ \text{u}^2

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Consejo

Con exponenciales, estudia por separado $+\infty$ y $-\infty$ : aquí $y = 0$ es asíntota solo por la derecha. Decir «asíntota horizontal $y = 0$ » sin precisar el lado es un fallo típico.

En la integral por partes de un polinomio por $e^{-x}$ , el polinomio es siempre $u$ : cada vez baja un grado. Deriva la primitiva al final para cazar los signos.