Matemáticas IIMedio2,5 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2025 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3

.

a) (1,5 puntos) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de

f(x)

y su recta tangente en el punto

x = 1

.

b) (1 punto) Calcular

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x f(x)}

, donde

\ln

denota el logaritmo neperiano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ t(x) = 12x + 1;\quad \text{Área} = \int_{-1/2}^{1}\left(2x^3 - 3x^2 + 1\right)dx = \frac{27}{32}\ \text{u}^2}

\boxed{\text{b)}\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x f(x)} = \frac{1}{12}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) primero hallamos la recta tangente en

x = 1

con

y = f(1) + f'(1)(x - 1)

. Después buscamos dónde se cortan la curva y la tangente: la diferencia

f(x) - t(x)

tiene necesariamente una raíz doble en

x = 1

(por ser tangente), así que se factoriza con Ruffini y aparece el otro punto de corte. El área es la integral de la función de arriba menos la de abajo entre esos dos puntos, por la regla de Barrow.

En b) sale

\frac{0}{0}

. Se puede resolver con L'Hôpital, o más rápido sacando

x

factor común en

f(x)

y usando que

\ln(1 + x^2)

se comporta como

x^2

cerca de

0

Desarrollo

a) Valor y derivada en

x = 1

f(1) = 12 + 3 - 2 = 13, \qquad f'(x) = 12 + 6x - 6x^2, \qquad f'(1) = 12

La recta tangente es

t(x) = 13 + 12(x - 1) = 12x + 1

Puntos de corte. Igualamos

f(x) = t(x)

f(x) - t(x) = -2x^3 + 3x^2 - 1 = 0

Sabemos que

x = 1

es raíz doble (punto de tangencia). Dividiendo por Ruffini dos veces entre

(x - 1)

-2x^3 + 3x^2 - 1 = -(x - 1)^2(2x + 1)

Las raíces son

x = 1

(doble) y

x = -\dfrac{1}{2}

. El recinto está entre

x = -\frac12

x = 1

.

Quién va por encima. En

\left(-\frac12, 1\right)

(x - 1)^2 > 0

2x + 1 > 0

, así que

f(x) - t(x) = -(x-1)^2(2x+1) < 0

: la tangente va por encima de la curva. Por ejemplo, en

x = 0

t(0) = 1 > f(0) = 0

.

Área.

\text{Área} = \int_{-1/2}^{1} \bigl(t(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_{-1/2}^{1} \left(2x^3 - 3x^2 + 1\right)dx = \left[\frac{x^4}{2} - x^3 + x\right]_{-1/2}^{1}

= \left(\frac12 - 1 + 1\right) - \left(\frac{1}{32} + \frac18 - \frac12\right) = \frac12 - \left(-\frac{11}{32}\right) = \frac{27}{32}

\text{Área} = \frac{27}{32} \approx 0{,}84 \ \text{u}^2

Comprobación. Derivando la primitiva:

\left(\frac{x^4}{2} - x^3 + x\right)' = 2x^3 - 3x^2 + 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sustituyendo

x = 0

: numerador

\ln 1 = 0

y denominador

0\cdot f(0) = 0

. Indeterminación

\frac{0}{0}

.

Sacamos

x

factor común en

f(x)

x f(x) = x\cdot x(12 + 3x - 2x^2) = x^2(12 + 3x - 2x^2)

. Entonces

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}\cdot\frac{1}{12 + 3x - 2x^2}

El primer factor sigue siendo

\frac{0}{0}

; por L'Hôpital,

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1 + x^2}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = 1

y el segundo tiende a

\frac{1}{12}

. Por tanto

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x f(x)} = 1\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{12}

Consejo

Cuando una recta es tangente a un polinomio en $x = a$ , la diferencia $f(x) - t(x)$ tiene una raíz doble en $a$ : divide dos veces por $(x - a)$ con Ruffini y el otro corte sale solo.

En un área entre dos curvas, di siempre cuál va por encima (con el signo o probando un punto). Si restas al revés y te sale negativa, no la cambies de signo sin explicarlo.