Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} k & -1 & -1 \\ 1 & k & 2k \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k & -1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 2k & k \end{array}\right)$$Las dos tienen dos filas, así que $\operatorname{rg}(A) \le 2$ y $\operatorname{rg}(A^*) \le 2$. Tomamos el menor formado por las columnas de $x$ e $y$:$$\begin{vmatrix} k & -1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 + 1$$Como $k^2 + 1 \ge 1 > 0$ para todo $k \in \mathbb{R}$, este menor nunca se anula. Por tanto, para cualquier valor de $k$,$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3 = \text{número de incógnitas}$$y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado para todo $k \in \mathbb{R}$, con $3 - 2 = 1$ parámetro (infinitas soluciones).

Resolución para $k = -1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} -x - y - z = 1 \\ x - y - 2z = -1 \end{array}\right.$$Sumando las dos ecuaciones se elimina $x$:$$-2y - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{3z}{2}$$Para evitar fracciones tomamos $z = 2\lambda$, con lo que $y = -3\lambda$, y de la segunda ecuación$$x = -1 + y + 2z = -1 - 3\lambda + 4\lambda = -1 + \lambda$$Comprobación. Primera: $-(-1 + \lambda) - (-3\lambda) - 2\lambda = 1 - \lambda + 3\lambda - 2\lambda = 1$ ✓. Segunda: $(-1 + \lambda) - (-3\lambda) - 2\cdot 2\lambda = -1 + 4\lambda - 4\lambda = -1$ ✓.

b) Pasamos $3A$ al primer miembro y sacamos factor común $A$ por la izquierda (usando que $AI = A$):$$A^2 - 3A = I \;\Longrightarrow\; A\,(A - 3I) = I$$Tomamos determinantes y usamos que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:$$|A|\cdot|A - 3I| = |I| = 1$$Si fuera $|A| = 0$, el primer miembro valdría $0$, y no $1$. Luego $|A| \neq 0$ y $A$ tiene inversa.

Además, $A$ y $A - 3I$ conmutan ($A(A - 3I) = A^2 - 3A = (A - 3I)A$), así que también $(A - 3I)\,A = I$. Por la definición de matriz inversa,$$A^{-1} = A - 3I$$Comprobación. $A\,(A - 3I) = A^2 - 3A = (I + 3A) - 3A = I$ ✓.