Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2025 · Junio
Enunciado
Una empresa produce aparatos para medir distancias. Durante el proceso de calibración realiza una serie de experimentos para medir la distancia entre dos puntos, que están separados 1,51{,}5 metros entre sí. Debido al error de los aparatos, se sabe que los valores medidos siguen una distribución normal de media 1,5 m1{,}5\,\text{m} y varianza 0,64 m20{,}64\,\text{m}^2.

b.1) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea de más de 2,1 m2{,}1\,\text{m}?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea superior a 0,9 m0{,}9\,\text{m}?

b.3) (1 punto) ¿Cuál es el valor de la distancia tal que el 80,51%80{,}51\% de las mediciones estarían por encima de él?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)
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Resultado
  b.1) P(X>2,1)=0,2266b.2) P(X>0,9)=0,7734  \boxed{\;\text{b.1)}\ P(X > 2{,}1) = 0{,}2266 \qquad \text{b.2)}\ P(X > 0{,}9) = 0{,}7734\;}  b.3) d=0,812 m  \boxed{\;\text{b.3)}\ d = 0{,}812\,\text{m}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Lo primero es leer bien el dato: nos dan la varianza, σ2=0,64\sigma^2 = 0{,}64, así que la desviación típica es σ=0,64=0,8 m\sigma = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\,\text{m}. La medición es X∼N(1,5; 0,8)X \sim N(1{,}5;\ 0{,}8).

En b.1) y b.2) tipificamos con Z=X−1,50,8Z = \dfrac{X - 1{,}5}{0{,}8} y usamos la tabla. Los dos valores, 2,12{,}1 y 0,90{,}9, están a la misma distancia de la media (0,6 m0{,}6\,\text{m}) por arriba y por abajo, así que la simetría de la campana va a hacer casi todo el trabajo.

b.3) es el problema al revés: conocemos una probabilidad y buscamos el valor. Como el 80,51%80{,}51\% de las mediciones quedan por encima, el valor buscado está por debajo de la media y su zz será negativo. Buscamos 0,80510{,}8051 dentro de la tabla y deshacemos la tipificación.
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Desarrollo

Datos. XX = medición del aparato, X∼N(μ=1,5; σ=0,8)X \sim N(\mu = 1{,}5;\ \sigma = 0{,}8), ya que σ=0,64=0,8\sigma = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8. Tipificamos conZ=X−1,50,8∼N(0,1)Z = \frac{X - 1{,}5}{0{,}8} \sim N(0, 1)b.1)P(X>2,1)=P(Z>2,1−1,50,8)=P(Z>0,75)=1−P(Z≤0,75)=1−0,7734=0,2266P(X > 2{,}1) = P\left(Z > \frac{2{,}1 - 1{,}5}{0{,}8}\right) = P(Z > 0{,}75) = 1 - P(Z \le 0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266(En la tabla, fila 0,700{,}70 y columna 0,050{,}05: 0,77340{,}7734.)

b.2)P(X>0,9)=P(Z>0,9−1,50,8)=P(Z>−0,75)P(X > 0{,}9) = P\left(Z > \frac{0{,}9 - 1{,}5}{0{,}8}\right) = P(Z > -0{,}75)Por la simetría de la normal, el área a la derecha de −0,75-0{,}75 es igual al área a la izquierda de 0,750{,}75:P(Z>−0,75)=P(Z<0,75)=0,7734P(Z > -0{,}75) = P(Z < 0{,}75) = 0{,}7734Tiene sentido: es el complementario de P(X<0,9)P(X < 0{,}9), que por simetría vale lo mismo que P(X>2,1)=0,2266P(X > 2{,}1) = 0{,}2266.

b.3) Buscamos la distancia dd tal que P(X>d)=0,8051P(X > d) = 0{,}8051. Como es mayor que 0,50{,}5, dd está por debajo de la media y su tipificado zd=d−1,50,8z_d = \dfrac{d - 1{,}5}{0{,}8} es negativo. Usando la simetría:P(X>d)=P(Z>zd)=P(Z<−zd)=0,8051P(X > d) = P(Z > z_d) = P(Z < -z_d) = 0{,}8051En la tabla, 0,80510{,}8051 aparece exactamente en la fila 0,800{,}80, columna 0,060{,}06, así que−zd=0,86  ⟹  zd=−0,86-z_d = 0{,}86 \;\Longrightarrow\; z_d = -0{,}86Deshacemos la tipificación:d−1,50,8=−0,86  ⟹  d=1,5−0,86⋅0,8=1,5−0,688=0,812 m\frac{d - 1{,}5}{0{,}8} = -0{,}86 \;\Longrightarrow\; d = 1{,}5 - 0{,}86\cdot 0{,}8 = 1{,}5 - 0{,}688 = 0{,}812\,\text{m}El 80,51%80{,}51\% de las mediciones superan los 0,8120{,}812 metros.

En la simulación se ve el área de b.1) bajo la campana; la segunda resuelve el problema inverso de b.3).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

El dato trampa es la varianza: si tipificas dividiendo entre 0,640{,}64 en vez de entre σ=0,8\sigma = 0{,}8, todos los apartados salen mal. Lee siempre si te dan σ\sigma o σ2\sigma^2.

En b.3) dibuja la campana: si más de la mitad de los valores quedan por encima, el valor buscado está a la izquierda de la media y zz es negativo. Dar d=1,5+0,688=2,188d = 1{,}5 + 0{,}688 = 2{,}188 es el fallo típico.
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