Probabilidad

Llamamos $N$ al número de cartas que saca un jugador hasta encontrar el primer as (contándolo). En la baraja hay $4$ ases y $36$ cartas que no lo son.

a.1) Construimos el árbol extracción a extracción, quitando cada vez la carta que ha salido.

El as sale con la 1.ª carta. La primera carta es un as:$$P(N = 1) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0{,}1$$El as sale con la 2.ª carta. La primera no es as ($36$ de $40$) y, quedando $39$ cartas con los $4$ ases, la segunda sí lo es:$$P(N = 2) = \frac{36}{40}\cdot\frac{4}{39} = \frac{144}{1560} = \frac{6}{65} \approx 0{,}0923$$El as sale con la 3.ª carta. Las dos primeras no son ases y la tercera sí:$$P(N = 3) = \frac{36}{40}\cdot\frac{35}{39}\cdot\frac{4}{38} = \frac{5040}{59280} = \frac{21}{247} \approx 0{,}0850$$Las probabilidades van bajando poco a poco: cada vez es menos probable que haya que llegar hasta esa carta, aunque el mazo tenga cada vez menos cartas.

a.2) El primer jugador ha sacado $N_1 = 2$ cartas. El segundo baraja de nuevo el mazo completo, así que su número de cartas $N_2$ es independiente de lo que hizo el primero y sigue la misma distribución. El segundo gana si saca más cartas, es decir, si $N_2 \ge 3$, lo que ocurre exactamente cuando sus dos primeras cartas no son ases:$$P(\text{gana el segundo}) = P(N_2 \ge 3) = \frac{36}{40}\cdot\frac{35}{39} = \frac{1260}{1560} = \frac{21}{26} \approx 0{,}8077$$Comprobación por el complementario. Con los resultados de a.1):$$P(N_2 \ge 3) = 1 - P(N_2 = 1) - P(N_2 = 2) = 1 - \frac{1}{10} - \frac{6}{65} = \frac{130 - 13 - 12}{130} = \frac{105}{130} = \frac{21}{26}$$que coincide con el cálculo directo ✓.

Para completar el cuadro: el empate ($N_2 = 2$) tiene probabilidad $\frac{6}{65} \approx 0{,}0923$ y la victoria del primero ($N_2 = 1$), $0{,}1$. Las tres suman $\frac{105 + 12 + 13}{130} = 1$ ✓.