Matrices

Despeje. Sumando $B$ y restando $X$ en los dos miembros:$$AX - B = X \;\Longrightarrow\; AX - X = B \;\Longrightarrow\; (A - I)\,X = B$$con$$A - I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m - 1 \end{pmatrix}$$b.1) Calculamos su determinante:$$|A - I| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m - 1 \end{vmatrix} = (m - 1) - 1 = m - 2$$Si $m \neq 2$: $|A - I| \neq 0$, $A - I$ es invertible y $X = (A - I)^{-1}B$ es la única solución.

Si $m = 2$: $A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ no es invertible. Escribiendo $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$,$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + z & y + t \\ x + z & y + t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$y la segunda columna exige a la vez $y + t = 1$ e $y + t = 0$: el sistema no tiene solución.

Por tanto, el sistema tiene solución única si y solo si $m \neq 2$.

b.2) Para $m = 1$:$$A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |A - I| = 1 - 2 = -1 \neq 0$$Inversa por adjuntos: la adjunta de $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ es $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y es simétrica, así que$$(A - I)^{-1} = \frac{1}{|A - I|}\,\operatorname{Adj}(A - I)^{t} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$(Comprobación: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓.)

Entonces$$X = (A - I)^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 & 0 + 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$Comprobación en la ecuación original. Con $X = I$ y $m = 1$:$$AX - B = A - B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = X$$que es justo lo que pedía la ecuación ✓.

En la simulación está la ecuación $AX = \lambda X + B$ con $\lambda = 1$ (la misma que $AX - B = X$) y $m$ como parámetro $a$; con $a = 2$ se ve por qué deja de tener solución única.