Rectas y planos

Datos. $r$: punto $O(0, 0, 0)$, director $\vec{u} = (1, -1, 2)$. $\pi$: normal $\vec{n} = (1, -1, 3)$.

Antes de nada, comprobamos que se cortan en $A$: un punto de $r$ es $(\lambda, -\lambda, 2\lambda)$ y, sustituyendo en $\pi$, $\lambda + \lambda + 6\lambda = 8\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$. Se cortan solo en el origen, así que $r$ es secante a $\pi$ (no paralela ni contenida).

b.1) El plano $\sigma$ buscado pasa por $O(0, 0, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{u} = (1, -1, 2)$ (contiene a $r$) y $\vec{n} = (1, -1, 3)$ (es perpendicular a $\pi$). Su vector normal:$$\vec{u} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \big(-3 + 2\big)\vec{i} - \big(3 - 2\big)\vec{j} + \big(-1 + 1\big)\vec{k} = (-1, -1, 0)$$Tomamos $\vec{n}_\sigma = (1, 1, 0)$. Como pasa por el origen, el término independiente es $0$:$$\sigma \equiv x + y = 0$$Equivalentemente, con el determinante de un punto y dos directores:$$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; -x - y = 0 \;\Longrightarrow\; x + y = 0$$Comprobación. El punto $(1, -1, 2)$ de $r$ cumple $1 + (-1) = 0$, y $\vec{n}_\sigma\cdot\vec{n} = 1 - 1 + 0 = 0$, así que los planos son perpendiculares ✓.

b.2) El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano cumple$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$$Calculamos cada pieza:$$\vec{u}\cdot\vec{n} = 1\cdot 1 + (-1)(-1) + 2\cdot 3 = 8, \qquad |\vec{u}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}, \qquad |\vec{n}| = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$$$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{8}{\sqrt{6}\,\sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{66}} \approx 0{,}9847 \;\Longrightarrow\; \alpha = \arcsin\frac{8}{\sqrt{66}} \approx 79{,}98^\circ \approx 79^\circ\,58'\,30''$$Dicho de otro modo: el ángulo entre $\vec{u}$ y la normal $\vec{n}$ es de unos $10{,}02^\circ$, y su complementario, $90^\circ - 10{,}02^\circ \approx 79{,}98^\circ$, es el ángulo entre la recta y el plano. La recta es casi perpendicular a $\pi$.

El punto de corte $A$ no interviene en la cuenta: solo nos asegura que recta y plano son secantes (si fueran paralelos, el ángulo sería $0^\circ$).

En la simulación, $\pi$ es el plano del enunciado y $\sigma$ el plano $x + y = 0$ hallado en b.1); se ve el ángulo que forma $r$ con $\pi$.