Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Castilla-La Mancha · 2025 · Junio
Enunciado
Sean las rectas r1≡x+21=y−1−1=z+11r_1 \equiv \dfrac{x+2}{1} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{1} y r2≡x−12=y−11=z−1−1r_2 \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{-1}.

a.1) (1,25 puntos) Determina la ecuación de la recta, r3r_3, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas r1r_1 y r2r_2 y que pasa por el punto A(0,0,0)A(0, 0, 0).

a.2) (1,25 puntos) Calcula la distancia de la recta r2r_2 al punto B(−1,−1,2)B(-1, -1, 2).
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Resultado
  a.1) r3≡(x,y,z)=λ (0,1,1)  ⟺  {x=0y=z  \boxed{\;\text{a.1)}\ r_3 \equiv (x, y, z) = \lambda\,(0, 1, 1) \iff \begin{cases} x = 0 \\ y = z \end{cases}\;}  a.2) d(B,r2)=306≈0,91 u  \boxed{\;\text{a.2)}\ d(B, r_2) = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0{,}91 \text{ u}\;}
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Estrategia

De las ecuaciones continuas se leen directamente un punto y el vector director de cada recta: el punto sale de lo que acompaña a xx, yy, zz cambiado de signo, y el director, de los denominadores.

En a.1) necesitamos un vector perpendicular a la vez a u⃗1\vec{u}_1 y u⃗2\vec{u}_2: eso es justo lo que da el producto vectorial u⃗1×u⃗2\vec{u}_1 \times \vec{u}_2. Con ese director y el punto AA escribimos la recta.

En a.2) usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: el área del paralelogramo que forman P2B→\overrightarrow{P_2B} y u⃗2\vec{u}_2 dividida entre la base ∣u⃗2∣|\vec{u}_2|. Como comprobación, hallamos el pie de la perpendicular.
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Desarrollo

Datos de las rectas.
  • r1r_1: pasa por P1(−2,1,−1)P_1(-2, 1, -1) con director u⃗1=(1,−1,1)\vec{u}_1 = (1, -1, 1).
  • r2r_2: pasa por P2(1,1,1)P_2(1, 1, 1) con director u⃗2=(2,1,−1)\vec{u}_2 = (2, 1, -1).
a.1) El vector director de r3r_3 debe ser perpendicular a u⃗1\vec{u}_1 y a u⃗2\vec{u}_2; lo obtenemos con el producto vectorial:u⃗1×u⃗2=∣i⃗j⃗k⃗1−1121−1∣=((−1)(−1)−1⋅1)i⃗−(1⋅(−1)−1⋅2)j⃗+(1⋅1−(−1)⋅2)k⃗=(0,3,3)\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \big((-1)(-1) - 1\cdot 1\big)\vec{i} - \big(1\cdot(-1) - 1\cdot 2\big)\vec{j} + \big(1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\big)\vec{k} = (0, 3, 3)Podemos tomar el proporcional más sencillo u⃗3=(0,1,1)\vec{u}_3 = (0, 1, 1).

Comprobación: u⃗3⋅u⃗1=0−1+1=0\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1 = 0 - 1 + 1 = 0 y u⃗3⋅u⃗2=0+1−1=0\vec{u}_3\cdot\vec{u}_2 = 0 + 1 - 1 = 0 ✓.

La recta r3r_3 pasa por A(0,0,0)A(0, 0, 0) con director (0,1,1)(0, 1, 1). En paramétricas:r3≡{x=0y=λz=λλ∈Rr_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}o, en forma implícita, r3≡{x=0y−z=0r_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} (en continua, x0=y1=z1\dfrac{x}{0} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}, entendiendo el 00 como x=0x = 0).

a.2) Tomamos el punto P2(1,1,1)P_2(1, 1, 1) de r2r_2 y el vectorP2B→=(−1−1, −1−1, 2−1)=(−2,−2,1)\overrightarrow{P_2B} = (-1 - 1,\ -1 - 1,\ 2 - 1) = (-2, -2, 1)Producto vectorial con el director de r2r_2:P2B→×u⃗2=∣i⃗j⃗k⃗−2−2121−1∣=(2−1)i⃗−(2−2)j⃗+(−2+4)k⃗=(1,0,2)\overrightarrow{P_2B} \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \big(2 - 1\big)\vec{i} - \big(2 - 2\big)\vec{j} + \big(-2 + 4\big)\vec{k} = (1, 0, 2)Entoncesd(B,r2)=∣P2B→×u⃗2∣∣u⃗2∣=12+02+2222+12+(−1)2=56=306≈0,91 ud(B, r_2) = \frac{\left|\overrightarrow{P_2B} \times \vec{u}_2\right|}{|\vec{u}_2|} = \frac{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0{,}91 \text{ u}Comprobación con el pie de la perpendicular. Un punto genérico de r2r_2 es H=(1+2μ, 1+μ, 1−μ)H = (1 + 2\mu,\ 1 + \mu,\ 1 - \mu). Imponemos BH→⊥u⃗2\overrightarrow{BH}\perp\vec{u}_2:BH→=(2+2μ, 2+μ, −1−μ),BH→⋅u⃗2=2(2+2μ)+(2+μ)−(−1−μ)=7+6μ=0  ⇒  μ=−76\overrightarrow{BH} = (2 + 2\mu,\ 2 + \mu,\ -1 - \mu), \qquad \overrightarrow{BH}\cdot\vec{u}_2 = 2(2+2\mu) + (2+\mu) - (-1-\mu) = 7 + 6\mu = 0 \;\Rightarrow\; \mu = -\frac{7}{6}H=(−43, −16, 136),BH→=(−13, 56, 16),∣BH→∣=4+25+136=306H = \left(-\frac{4}{3},\ -\frac{1}{6},\ \frac{13}{6}\right), \qquad \overrightarrow{BH} = \left(-\frac{1}{3},\ \frac{5}{6},\ \frac{1}{6}\right), \qquad |\overrightarrow{BH}| = \sqrt{\frac{4 + 25 + 1}{36}} = \frac{\sqrt{30}}{6}que coincide con lo obtenido ✓.

En la simulación, rr es la recta r2r_2, ss es la recta r3r_3 y PP es el punto BB, con su distancia a r2r_2.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

En a.1) basta con el producto vectorial, pero comprueba con dos productos escalares que el vector sale perpendicular a ambos directores: un signo mal puesto en el determinante es el error típico.

En a.2) no confundas la fórmula: es el módulo del producto vectorial entre el módulo del director, no un producto escalar. Y no olvides poner unidades (u) a la distancia.
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