Derivadas y aplicaciones

a) Derivamos $f(t) = 5(t+1)e^{-t}$ con la regla del producto (la derivada de $e^{-t}$ es $-e^{-t}$):$$f'(t) = 5\left[1\cdot e^{-t} + (t+1)\cdot\left(-e^{-t}\right)\right] = 5e^{-t}\left[1 - (t+1)\right] = -5t\,e^{-t}$$Esta es la función que queremos hacer mínima en $[0, +\infty)$. La derivamos otra vez:$$f''(t) = -5\left[e^{-t} + t\cdot\left(-e^{-t}\right)\right] = -5e^{-t}(1 - t) = 5(t-1)\,e^{-t}$$Puntos críticos de $f'$. Como $e^{-t} > 0$ siempre,$$f''(t) = 0 \iff t - 1 = 0 \iff t = 1$$Signo de $f''$ (lo decide el factor $t - 1$):Así que $f'$ decrece hasta $t = 1$ y crece a partir de ahí: en $t = 1$ tiene un mínimo, y como es el único cambio de monotonía en todo el dominio, es el mínimo absoluto en $[0, +\infty)$. Su valor es$$f'(1) = -5\cdot 1\cdot e^{-1} = -\frac{5}{e} \approx -1{,}84$$Lo confirmamos comparando con los extremos del dominio: $f'(0) = 0$ y, cuando $t\to+\infty$, $f'(t) = -\dfrac{5t}{e^{t}} \to 0$ (la exponencial gana al polinomio). Ambos son mayores que $-5/e$.

Interpretación: la derivada negativa indica que la concentración disminuye; en $t = 1$ es cuando disminuye más deprisa.

b) Sustituyendo directamente sale $\infty\cdot 0$, que es una indeterminación. La escribimos como cociente:$$\lim_{t\to+\infty} 5(t+1)e^{-t} = \lim_{t\to+\infty} \frac{5(t+1)}{e^{t}} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]$$Numerador y denominador son derivables y tienden a infinito, así que aplicamos la regla de L'Hôpital:$$\lim_{t\to+\infty} \frac{5(t+1)}{e^{t}} = \lim_{t\to+\infty} \frac{5}{e^{t}} = 0$$A largo plazo, la concentración de virus activos tiende a cero: la gráfica de $f$ tiene la asíntota horizontal $y = 0$ cuando $t \to +\infty$.

En la simulación se ven $f$ y $f'$: la gráfica de $f'$ tiene su punto más bajo en $t = 1$, donde la tangente a $f$ es la más inclinada hacia abajo.