Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2025 · Julio

Enunciado

Una inspectora de sanidad sabe que el 5% de los restaurantes no pasará una inspección. Si elige 8 restaurantes al azar, calcula:

b.1) [0,75 puntos] Probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.

b.2) [0,75 puntos] Probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.

b.3) [1 punto] Probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 8

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Resultado

\boxed{X \sim B(8;\,0{,}05):\quad \text{b.1) } P(X=3) \approx 0{,}0054 \qquad \text{b.2) } P(X=0) \approx 0{,}6634}

\boxed{\text{b.3) } P(X \le 6) = 1 - P(X=7) - P(X=8) \approx 1 \;(0{,}999999994)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada restaurante es un ensayo con dos resultados (pasa o no pasa la inspección), los 8 se eligen al azar y de forma independiente, y la probabilidad de "no pasar" es siempre

0{,}05

. Eso es una binomial:

X

= número de restaurantes que no pasan la inspección,

X \sim B(8;\, 0{,}05)

.

Elegimos contar los que no pasan porque es la probabilidad que trae la tabla (

p = 0{,}05

). Luego cada pregunta se traduce a un valor de

X

"tres no pasan" es $X = 3$ ;
"todos pasan" es "ninguno no pasa", $X = 0$ ;
"al menos dos pasan" es "como mucho seis no pasan", $X \le 6$ , que se calcula mejor por el suceso contrario.

Desarrollo

Variable.

X

= número de restaurantes, de los 8, que no pasan la inspección:

X \sim B(8;\; 0{,}05), \qquad P(X = k) = \binom{8}{k}\, 0{,}05^k\, 0{,}95^{8 - k}, \quad k = 0, 1, \dots, 8

En la tabla, columna

p = 0{,}05

n = 8

P(X = 0) = 0{,}6634

P(X = 1) = 0{,}2793

P(X = 2) = 0{,}0515

P(X = 3) = 0{,}0054

P(X = 4) = 0{,}0004

0{,}0000

de ahí en adelante.

b.1) Tres no pasan.

P(X = 3) = \binom{8}{3}\, 0{,}05^3\, 0{,}95^5 = 56 \cdot 0{,}000125 \cdot 0{,}7738 \approx 0{,}0054

que coincide con la tabla.

b.2) Todos pasan, es decir, ninguno deja de pasarla:

P(X = 0) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634

b.3) Al menos dos pasan. Si pasan al menos dos, no pasan como mucho seis: el suceso es

X \le 6

. Por el contrario:

P(X \le 6) = 1 - P(X = 7) - P(X = 8)

Con la tabla,

P(X = 7) = P(X = 8) = 0{,}0000

(a cuatro decimales), así que

P(X \le 6) \approx 1 - 0 - 0 = 1{,}0000

Con más precisión:

P(X = 7) = 8\cdot 0{,}05^7\cdot 0{,}95 \approx 5{,}94\cdot 10^{-9}

P(X = 8) = 0{,}05^8 \approx 3{,}9\cdot 10^{-11}

, luego

P(X \le 6) = 1 - 5{,}98\cdot 10^{-9} \approx 0{,}999999994

Es prácticamente seguro: para que fallara, siete u ocho de los ocho restaurantes tendrían que no pasar la inspección, con lo improbable que es cada uno.

Consejo

Define siempre la variable con palabras y di que es binomial con sus parámetros: eso suele llevarse una parte de la nota. Cuidado con el sentido: el 5% es de los que no pasan, y "todos pasan" equivale a $X = 0$ , no a $X = 8$ .

En b.3) traduce bien "al menos dos pasan" a la variable que estás usando ( $X \le 6$ ) y usa el contrario: restar dos términos es mucho más corto que sumar siete.