Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2025 · Julio

Enunciado

En la entrada del instituto hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallos son 3%, 5% y 4%, respectivamente. Un estudiante entra en el instituto y, como las tres fotocopiadoras están libres, elige una al azar.

a.1) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?

a.2) [1,5 puntos] Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?

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Resultado

\boxed{\text{a.1) } P(\overline{F}) = 0{,}96}

\boxed{\text{a.2) } P(B \mid F) = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167}

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Estrategia

Es el esquema clásico de árbol en dos etapas. Primero se elige la fotocopiadora: "al azar" entre tres significa que cada una tiene probabilidad

\frac{1}{3}

. Después la copia sale bien o mal, y los porcentajes de fallos son probabilidades condicionadas a la máquina elegida.

En a.1) sumamos las ramas que acaban "sin fallos" (probabilidad total). En a.2) nos dan el resultado (página defectuosa) y preguntan por la causa (la máquina B): eso es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

A

B

C

= "se usa la fotocopiadora A, B, C";

F

= "la página sale defectuosa";

\overline{F}

= "sale sin fallos". Datos:

P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}

P(F \mid A) = 0{,}03, \qquad P(F \mid B) = 0{,}05, \qquad P(F \mid C) = 0{,}04

Árbol. De cada máquina salen dos ramas:

A ( $\frac{1}{3}$ ): $F$ con $0{,}03$ y $\overline{F}$ con $0{,}97$ .
B ( $\frac{1}{3}$ ): $F$ con $0{,}05$ y $\overline{F}$ con $0{,}95$ .
C ( $\frac{1}{3}$ ): $F$ con $0{,}04$ y $\overline{F}$ con $0{,}96$ .

a.1) Probabilidad de fotocopiar sin fallos. Por el teorema de la probabilidad total:

P(\overline{F}) = \frac{1}{3}\cdot 0{,}97 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}95 + \frac{1}{3}\cdot 0{,}96 = \frac{2{,}88}{3} = 0{,}96

Equivalentemente,

P(F) = \frac{0{,}03 + 0{,}05 + 0{,}04}{3} = \frac{0{,}12}{3} = 0{,}04

P(\overline{F}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96

.

a.2) Probabilidad de haber usado B sabiendo que la página es defectuosa. Por el teorema de Bayes:

P(B \mid F) = \frac{P(B)\cdot P(F \mid B)}{P(F)} = \frac{\frac{1}{3}\cdot 0{,}05}{0{,}04} = \frac{0{,}05}{0{,}12} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167

Comprobación. Del mismo modo,

P(A \mid F) = \frac{0{,}03}{0{,}12} = \frac{3}{12}

P(C \mid F) = \frac{0{,}04}{0{,}12} = \frac{4}{12}

, y

\frac{3 + 5 + 4}{12} = 1

. Tiene sentido que B sea la más probable: es la que más falla.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los porcentajes de fallos son $P(F \mid A)$ , $P(F \mid B)$ y $P(F \mid C)$ , no $P(F)$ : van en la segunda etapa del árbol. Y en a.1) preguntan por copias sin fallos: no te quedes en $0{,}04$ , que es la probabilidad del suceso contrario.

En a.2) define los sucesos y escribe la fórmula de Bayes antes de sustituir: la ponencia valora el planteamiento, no solo el número final.