Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Castilla-La Mancha · 2025 · Julio

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ a & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

, con

a \in \mathbb{R}

.

b.1) [1,25 puntos] Calcula los valores del parámetro

a

para que

A \cdot B

sea invertible. Justifica tu respuesta.

b.2) [1,25 puntos] Calcula la inversa de

A \cdot B

en función de

a

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{b.1) } A\cdot B = \begin{pmatrix} 1+2a & 3+2a \\ 1-a & 1 \end{pmatrix} \text{ es invertible} \iff a \neq \tfrac{1}{2},\; a \neq -2}

\boxed{\text{b.2) } (A\cdot B)^{-1} = \frac{1}{2a^2 + 3a - 2}\begin{pmatrix} 1 & -3-2a \\ a-1 & 1+2a \end{pmatrix}}

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Estrategia

A

2\times 3

B

3\times 2

, así que

A\cdot B

es una matriz cuadrada

2\times 2

(ni

A

B

tienen inversa, pero su producto sí puede tenerla). Primero hacemos el producto con cuidado, fila por columna.

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero: calculamos

|A\cdot B|

, que sale un polinomio de segundo grado en

a

, y quitamos sus raíces.

Para la inversa de una

2\times 2

usamos la fórmula de los adjuntos: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los de la otra diagonal y se divide todo entre el determinante.

Desarrollo

Producto $A\cdot B$ .

A\cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2a + a\cdot 0 & 1\cdot 3 + 2\cdot 0 + 2a \\ 1\cdot 1 - a - 1\cdot 0 & 1\cdot 3 + 0 - 1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2a & 3 + 2a \\ 1 - a & 1 \end{pmatrix}

b.1) Cuándo es invertible. Es invertible si y solo si

|A\cdot B| \neq 0

|A\cdot B| = (1 + 2a)\cdot 1 - (3 + 2a)(1 - a) = 1 + 2a - (3 - a - 2a^2) = 2a^2 + 3a - 2

2a^2 + 3a - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2} \;\;\text{o}\;\; a = -2

Así que

|A\cdot B| = (2a - 1)(a + 2)

A\cdot B \text{ es invertible} \iff a \neq \frac{1}{2} \;\text{ y }\; a \neq -2

(Por ejemplo, con

a = -2

queda

A\cdot B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

, con las filas proporcionales.)

b.2) Inversa. Para

a \neq \frac{1}{2}

a \neq -2

, la matriz de adjuntos de

M = A\cdot B

\operatorname{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 1 & -(1 - a) \\ -(3 + 2a) & 1 + 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a - 1 \\ -3 - 2a & 1 + 2a \end{pmatrix}

y la inversa es la traspuesta de la adjunta dividida entre el determinante:

(A\cdot B)^{-1} = \frac{1}{|M|}\,\operatorname{Adj}(M)^t = \frac{1}{2a^2 + 3a - 2}\begin{pmatrix} 1 & -3 - 2a \\ a - 1 & 1 + 2a \end{pmatrix}

Comprobación con

a = 1

A\cdot B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

|A\cdot B| = 3

y la fórmula da

\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

. En efecto,

\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & -15 + 15 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = I

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Consejo

Un error frecuente es decir que $A\cdot B$ no tiene inversa "porque $A$ y $B$ no son cuadradas": lo que importa es el producto, que es $2\times 2$ . Haz el producto con calma; un signo mal en la segunda fila arrastra el error a los dos apartados.

En b.2) indica para qué valores de $a$ vale la fórmula (los del b.1) y, si te sobra tiempo, compruébala con un valor concreto de $a$ : $M\cdot M^{-1}$ debe dar la identidad.