Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla-La Mancha · 2025 · Julio

Enunciado

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

\left\{\begin{array}{l} x + y - z = 2 \\ 4x + 2y = a \\ ax + y + z = 1 \end{array}\right.

a.1) [1,5 puntos] Discute la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro

a \in \mathbb{R}

e indica el número de soluciones en cada caso.

a.2) [1 punto] Para

a = 0

, resuelve el sistema de ecuaciones, de forma razonada.

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Resultado

\boxed{\text{a.1) } a \neq 3:\ \text{S.C.D. (solución única)};\quad a = 3:\ \text{S.C.I. (infinitas soluciones)}}

\boxed{\text{a.2) } x = -1,\quad y = 2,\quad z = -1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas, así que el camino rápido es el determinante de la matriz de coeficientes: donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado (solución única). Solo hay que estudiar aparte los valores de

a

que lo anulan, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada (teorema de Rouché-Frobenius).

Para

a = 0

estamos en el caso de solución única: la segunda ecuación da

y

en función de

x

, la tercera

z

, y la primera cierra el valor de

x

Desarrollo

Matrices del sistema.

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 0 & a \\ a & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)

a.1) Discusión. Determinante de

A

, desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\cdot(2 - 0) - 1\cdot(4 - 0) + (-1)\cdot(4 - 2a) = 2 - 4 - 4 + 2a = 2a - 6

|A| = 0 \iff a = 3

Si $a \neq 3$ : $|A| \neq 0$ , así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas. Sistema compatible determinado: una única solución.

Si $a = 3$ : el sistema es

\left\{\begin{array}{l} x + y - z = 2 \\ 4x + 2y = 3 \\ 3x + y + z = 1 \end{array}\right.

El menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = 2

. Para la ampliada orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(2 - 3) - 1\cdot(4 - 9) + 2\cdot(4 - 6) = -1 + 5 - 4 = 0

y la otra orla posible es

|A| = 0

, así que

\operatorname{rg}(A^*) = 2

. Como

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones (dependen de un parámetro). Se ve también a simple vista: sumando la primera y la tercera ecuación sale

4x + 2y = 3

, que es la segunda.

Aunque no se pide, las soluciones para

a = 3

son, con

x = \lambda

y = \frac{3}{2} - 2\lambda

z = -\frac{1}{2} - \lambda

.

a.2) Resolución para $a = 0$ . Estamos en el caso

a \neq 3

(compatible determinado;

|A| = -6

). El sistema es

\left\{\begin{array}{l} x + y - z = 2 \\ 4x + 2y = 0 \\ y + z = 1 \end{array}\right.

De la segunda,

y = -2x

. De la tercera,

z = 1 - y = 1 + 2x

. Sustituyendo en la primera:

x - 2x - (1 + 2x) = 2 \;\Longrightarrow\; -3x - 1 = 2 \;\Longrightarrow\; x = -1

y entonces

y = 2

z = -1

.

Comprobación:

-1 + 2 - (-1) = 2

\;4(-1) + 2\cdot 2 = 0\;

\;2 + (-1) = 1

. Se cumplen las tres.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $|A| = 0$ no basta para decir "incompatible": hay que calcular el rango de la ampliada. Aquí, para $a = 3$ , el sistema es compatible indeterminado porque la segunda ecuación es la suma de las otras dos.

El enunciado pide también el número de soluciones en cada caso: escribe "una", "infinitas" o "ninguna" junto a cada sigla. Y en a.2) di que es compatible determinado antes de resolver.