Resuelve los problemas siguientes: b.1) [1 punto] Calcula la ecuación del plano \pi' que pasa por C(1, 1, -2), es paralelo a la recta r que pasa por los puntos A(1, 0, 3) y B(0, 4, -1) y perpendicular al plano \pi \equiv -x + y + 2z = 1. b.2) [1,5 puntos] Determina los valores reales de m \in \mathbb{R}, para que los puntos A(-1, 2, 3), B(-1, 0, -1), C(2, -1, 1) y D(2, 3, m), formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2025 · Julio

Enunciado

Resuelve los problemas siguientes:

b.1) [1 punto] Calcula la ecuación del plano

\pi'

que pasa por

C(1, 1, -2)

, es paralelo a la recta

r

que pasa por los puntos

A(1, 0, 3)

B(0, 4, -1)

y perpendicular al plano

\pi \equiv -x + y + 2z = 1

.

b.2) [1,5 puntos] Determina los valores reales de

m \in \mathbb{R}

, para que los puntos

A(-1, 2, 3)

B(-1, 0, -1)

C(2, -1, 1)

D(2, 3, m)

, formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{b.1) } \pi' \equiv 4x + 2y + z - 4 = 0}

\boxed{\text{b.2) } m = 1 \;\text{ o }\; m = 17}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b.1) necesitamos un punto (lo tenemos,

C

) y dos direcciones del plano

\pi'

si $\pi'$ es paralelo a $r$ , el vector director de $r$ es una dirección de $\pi'$ ;
si $\pi'$ es perpendicular a $\pi$ , el vector normal de $\pi$ queda "tumbado" dentro de $\pi'$ , así que también es una dirección de $\pi'$ .

El producto vectorial de esas dos direcciones da el normal de

\pi'

.

En b.2) el volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que salen de un vértice. Igualamos a 8 y, por el valor absoluto, salen dos valores de

m

Desarrollo

b.1) Plano $\pi'$ . Vector director de

r

y vector normal de

\pi

\vec{u}_r = \overrightarrow{AB} = (0 - 1,\, 4 - 0,\, -1 - 3) = (-1, 4, -4), \qquad \vec{n}_\pi = (-1, 1, 2)

Normal de

\pi'

\vec{n}' = \vec{u}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (8 + 4)\,\vec{i} - (-2 - 4)\,\vec{j} + (-1 + 4)\,\vec{k} = (12, 6, 3)

Podemos usar el proporcional

(4, 2, 1)

. El plano es

4x + 2y + z + d = 0

y pasa por

C(1, 1, -2)

4 + 2 - 2 + d = 0 \Rightarrow d = -4

\pi' \equiv 4x + 2y + z - 4 = 0

Comprobación:

$(4, 2, 1)\cdot(-1, 4, -4) = -4 + 8 - 4 = 0$ : $r$ es paralela a $\pi'$ . Además $A(1, 0, 3)$ no está en $\pi'$ ( $4 + 0 + 3 - 4 = 3 \neq 0$ ), así que $r$ no está contenida en él.
$(4, 2, 1)\cdot(-1, 1, 2) = -4 + 2 + 2 = 0$ : los normales son perpendiculares, luego $\pi' \perp \pi$ .

b.2) Tetraedro de volumen 8. Vectores desde

A(-1, 2, 3)

\overrightarrow{AB} = (0, -2, -4), \qquad \overrightarrow{AC} = (3, -3, -2), \qquad \overrightarrow{AD} = (3, 1, m - 3)

Producto mixto, desarrollando por la primera fila:

\begin{vmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 3 & -3 & -2 \\ 3 & 1 & m - 3 \end{vmatrix} = 0 - (-2)\big(3(m - 3) + 6\big) + (-4)(3 + 9) = 2(3m - 3) - 48 = 6m - 54

El volumen del tetraedro es

V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right]\right| = \frac{|6m - 54|}{6} = |m - 9|

|m - 9| = 8 \;\Longrightarrow\; m - 9 = 8 \;\;\text{o}\;\; m - 9 = -8 \;\Longrightarrow\; m = 17 \;\;\text{o}\;\; m = 1

Comprobación: con

m = 17

el producto mixto vale

48

y con

m = 1

vale

-48

; en los dos casos

V = \frac{48}{6} = 8

^3

. (Con

m = 9

los cuatro puntos serían coplanarios y no habría tetraedro.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b.1) el truco es ver que "perpendicular a $\pi$ " significa que el normal de $\pi$ es un vector del plano buscado, no su normal. Si usas $(-1, 1, 2)$ como normal de $\pi'$ , el plano te sale paralelo a $\pi$ , justo lo contrario.

En b.2) no olvides el valor absoluto: el producto mixto puede ser negativo y hay dos soluciones. Dar solo $m = 17$ pierde la mitad del apartado.