Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Castilla-La Mancha · 2025 · Julio
Enunciado
Para las fiestas del Corpus Christi que se celebran en Toledo, se instalan toldos en las calles por las que transcurre la procesión. En una de ellas, los operarios colocan los siguientes puntos de apoyo: A(0,1,−2)A(0, 1, -2), B(1,2,0)B(1, 2, 0), C(0,0,1)C(0, 0, 1) y D(1,0,m)D(1, 0, m), con m∈Rm \in \mathbb{R}.

a.1) [1 punto] Calcula el valor de mm para que los cuatro puntos sean coplanarios.

a.2) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano π\pi que contiene al toldo.

a.3) [0,75 puntos] Si los adornos florales deben estar como mínimo a 1 metro de distancia del toldo y se ha colocado un adorno de flores en el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3), ¿estará correctamente ubicado?
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Resultado
a.1) m=6\boxed{\text{a.1) } m = 6}a.2) π≡5x−3y−z+1=0\boxed{\text{a.2) } \pi \equiv 5x - 3y - z + 1 = 0}a.3) d(P,π)=335≈0,51 m<1 m: no estaˊ bien ubicado\boxed{\text{a.3) } d(P, \pi) = \frac{3}{\sqrt{35}} \approx 0{,}51 \text{ m} < 1 \text{ m: no está bien ubicado}}
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Estrategia

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres (AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, AD→\overrightarrow{AD}) son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto (el determinante con sus coordenadas) vale cero. Eso da una ecuación en mm.

El toldo es el plano que pasa por esos puntos: tomamos dos vectores del plano, AB→\overrightarrow{AB} y AC→\overrightarrow{AC}, su producto vectorial es el vector normal, y con un punto cerramos la ecuación general.

Para el adorno basta la fórmula de la distancia de un punto a un plano y compararla con 1 metro.
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Desarrollo

a.1) Puntos coplanarios. Vectores desde AA:AB→=(1,1,2),AC→=(0,−1,3),AD→=(1,−1,m+2)\overrightarrow{AB} = (1, 1, 2), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, -1, 3), \qquad \overrightarrow{AD} = (1, -1, m + 2)Los cuatro puntos son coplanarios si y solo si [AB→,AC→,AD→]=0\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right] = 0:∣1120−131−1m+2∣=1⋅(−(m+2)+3)−1⋅(0−3)+2⋅(0+1)=(1−m)+3+2=6−m\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & m + 2 \end{vmatrix} = 1\cdot\big(-(m+2) + 3\big) - 1\cdot(0 - 3) + 2\cdot(0 + 1) = (1 - m) + 3 + 2 = 6 - m6−m=0  ⟹  m=66 - m = 0 \;\Longrightarrow\; m = 6(Además AA, BB y CC no están alineados, porque AB→\overrightarrow{AB} y AC→\overrightarrow{AC} no son proporcionales, así que determinan un único plano.)
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a.2) Plano del toldo. Vector normal:n⃗=AB→×AC→=∣i⃗j⃗k⃗1120−13∣=(3+2) i⃗−(3−0) j⃗+(−1−0) k⃗=(5,−3,−1)\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (3 + 2)\,\vec{i} - (3 - 0)\,\vec{j} + (-1 - 0)\,\vec{k} = (5, -3, -1)El plano es 5x−3y−z+d=05x - 3y - z + d = 0, y como pasa por C(0,0,1)C(0, 0, 1): −1+d=0⇒d=1-1 + d = 0 \Rightarrow d = 1.π≡5x−3y−z+1=0\pi \equiv 5x - 3y - z + 1 = 0Comprobación: AA: 0−3+2+1=00 - 3 + 2 + 1 = 0; BB: 5−6−0+1=05 - 6 - 0 + 1 = 0; D(1,0,6)D(1, 0, 6): 5−0−6+1=05 - 0 - 6 + 1 = 0. Los cuatro puntos están en π\pi.

a.3) Distancia del adorno al toldo.d(P,π)=∣5⋅1−3⋅2−3+1∣52+(−3)2+(−1)2=∣−3∣35=335=33535≈0,507 md(P, \pi) = \frac{|5\cdot 1 - 3\cdot 2 - 3 + 1|}{\sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{35}} = \frac{3}{\sqrt{35}} = \frac{3\sqrt{35}}{35} \approx 0{,}507 \text{ m}Como 0,507<10{,}507 < 1, el adorno está a menos de un metro del toldo: no está correctamente ubicado.
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Consejo

En a.1) el determinante se hace con los tres vectores que salen del mismo punto, no con las coordenadas de los puntos. Y antes de dar el plano en a.2), comprueba que los cuatro puntos lo cumplen: si alguno falla, hay un error en el producto vectorial.

En a.3) no basta con calcular la distancia: hay que contestar a la pregunta, comparándola con 1 metro y diciendo si el adorno está bien colocado o no.
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