Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de 48 cm de largo por 30 cm de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado x en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).Plancha de 48 cm por 30 cm con un cuadrado de lado x recortado en cada esquina y la caja sin tapa que resulta al doblar los bordesa) [0,75 puntos] Determina el volumen de la caja.
b) [1 punto] Determina las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.
c) [0,75 puntos] Para poder trasportar la caja cómodamente, se van a realizar dos aberturas. El área de cada una de ellas está encerrada por las curvas f(t)=t2−4t y g(t)=2t−5. Calcula el área de una de las aberturas.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) V(x)=x(48−2x)(30−2x)=4x3−156x2+1440x cm3,0<x<15b) x=6:36×18×6 cm,Vmax=3888 cm3c) A=332≈10,67 u2
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1
Estrategia
Al recortar un cuadrado de lado x en cada esquina y doblar los bordes hacia arriba, la altura de la caja es justo x, y a cada lado de la base se le quitan dos veces x (una por cada extremo). Con eso el volumen es largo por ancho por alto, una función de x que solo tiene sentido mientras el ancho sea positivo: 0<x<15.
En b) maximizamos esa función: derivamos, igualamos a cero, nos quedamos con la raíz que cae dentro del dominio y comprobamos con la segunda derivada que es un máximo. Ojo: piden las dimensiones, no solo el valor de x.
El apartado c) es independiente: el área entre dos curvas. Buscamos dónde se cortan, vemos cuál va por encima entre esos puntos e integramos la diferencia con la regla de Barrow.
2
Desarrollo
a) Volumen de la caja. Tras recortar las esquinas y doblar:
largo de la base: 48−2x,
ancho de la base: 30−2x,
altura: x.
V(x)=x(48−2x)(30−2x)=4x3−156x2+1440xcm3Para que la caja exista hace falta x>0 y 30−2x>0 (el largo es positivo entonces también), es decir, 0<x<15.
b) Volumen máximo. Derivamos:V′(x)=12x2−312x+1440=12(x2−26x+120)=12(x−6)(x−20)V′(x)=0⟹x=6ox=20x=20 no está en (0,15): con él el ancho sería negativo. Nos queda x=6. Segunda derivada:V′′(x)=24x−312,V′′(6)=144−312=−168<0así que en x=6 hay un máximo (relativo, y absoluto en (0,15), porque V crece en (0,6) y decrece en (6,15): V′>0 antes de 6 y V′<0 entre 6 y 20).
Dimensiones de la caja:largo=48−12=36 cm,ancho=30−12=18 cm,alto=6 cmcon volumen máximo V(6)=6⋅36⋅18=3888 cm3. (Comprobación: V(5)=3800 y V(7)=3808, los dos menores.)
c) Área de una abertura. Puntos de corte de las dos curvas:t2−4t=2t−5⟹t2−6t+5=0⟹(t−1)(t−5)=0⟹t=1,t=5Entre 1 y 5 la recta va por encima de la parábola; por ejemplo, en t=3: g(3)=1 y f(3)=−3. Por tantog(t)−f(t)=2t−5−t2+4t=−t2+6t−5A=∫15(−t2+6t−5)dt=[−3t3+3t2−5t]15A=(−3125+75−25)−(−31+3−5)=325−(−37)=332≈10,67 u2(Si t se mide en centímetros, como el resto de la caja, son 332 cm2.)
El fallo típico del a) es restar una sola x a cada lado: se recortan dos esquinas por lado, así que el largo es 48−2x, no 48−x. Y escribe el dominio 0<x<15: es lo que justifica descartar x=20 en el b).
En el b) te piden las dimensiones: contesta con largo, ancho y alto, no solo con x=6. En el c), comprueba qué curva va por encima antes de restar; si te sale un área negativa, has restado al revés.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.
