Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) El plano $\pi'$ que buscamos tiene vectores directores $(1, 1, 0)$ y $\overrightarrow{PQ} = (3, -3, 6) - (1, -1, 2) = (2, -2, 4) \sim (1, -1, 2)$. Haciéndolo pasar por el punto $P$, será el plano de ecuación:$$\begin{vmatrix} x - 1 & y + 1 & z - 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2x - 2 - z + 2 - z + 2 - 2y - 2 = 0,$$es decir, $2x - 2y - 2z = 0$; o, simplificando, $x - y - z = 0$.

b) La recta que nos piden es la intersección del plano $\pi'$ con el plano perpendicular a $\overrightarrow{PQ} \sim (1, -1, 2)$ que pasa por el punto medio:$$M = \frac{P + Q}{2} = \frac{1}{2}(4, -4, 8) = (2, -2, 4).$$Este plano tiene ecuación $x - y + 2z = D$ con $D = 2 - (-2) + 2 \cdot 4 = 12$; es decir, $x - y + 2z = 12$. Por tanto, la recta pedida es:$$\left.\begin{aligned} x - y - z &= 0 \\ x - y + 2z &= 12 \end{aligned}\right\}.$$Como restando obtenemos $z = 4$, se trata de la recta:$$(x, y, z) = (k + 4,\ k,\ 4) = (4, 0, 4) + k(1, 1, 0).$$Criterios de corrección:

a)

0,5 p. por plantear correctamente el problema.

0,5 p. por el cálculo de la ecuación.

b)

0,75 p. por calcular la ecuación del plano perpendicular a $\overline{PQ}$ que pasa por el punto medio.

0,75 p. por la ecuación paramétrica de la recta intersección con $\pi'$.