Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

La vela ocupa la región comprendida entre las curvas $y = 0$, $x = 0$ e $y = -x^2 + 25$. Para calcular el coste total, habrá que calcular por separado el área de la región superior y el área de la región inferior y multiplicarlas cada una por el precio del material respectivo (nailon o poliéster).

Encontramos primero los puntos de corte entre las funciones implicadas: el punto de corte de $y = -x^2 + 25$ con la parte positiva del eje de abscisas es:$$y = 0 \quad\longrightarrow\quad -x^2 + 25 = 0 \quad\longrightarrow\quad x = 5.$$La abscisa positiva del punto de corte entre las curvas $y = -x^2 + 25$ e $y = 9$ es$$-x^2 + 25 = 9 \quad\longrightarrow\quad -x^2 = -16 \quad\longrightarrow\quad x = 4.$$El área total bajo la curva $y = -x^2 + 25$ entre los extremos $x = 0$ y $x = 5$ es$$A_{total} = \int_0^5 (-x^2 + 25)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 25x\right]_0^5 = -\frac{125}{3} + 125 - 0 = \frac{250}{3}\ \text{u}^2.$$El área de la región inferior es:$$A_{inf} = \int_0^4 9\,dx + \int_4^5 (-x^2 + 25)\,dx = 9 \cdot 4 + \left[\frac{-x^3}{3} + 25x\right]_4^5 =$$$$= 36 + \left(-\frac{125}{3} + 125\right) - \left(-\frac{64}{3} + 100\right) = 36 + \frac{14}{3} = \frac{122}{3}\ \text{u}^2.$$Finalmente, el área de la región superior es la diferencia:$$A_{sup} = A_{total} - A_{inf} = \frac{250}{3} - \frac{122}{3} = \frac{128}{3}\ \text{u}^2.$$Así pues, el coste total de la vela será:$$\frac{128}{3}\ \text{u}^2 \cdot 50\ \text{euros}/\text{u}^2 + \frac{122}{3}\ \text{u}^2 \cdot 70\ \text{euros}/\text{u}^2 = \frac{6.400 + 8.540}{3}\ \text{euros} = 4.980\ \text{euros}.$$Criterios de corrección:

0,25 p. por los puntos de corte.

0,5 p. por el planteamiento del área de la región inferior.

0,5 p. por el cálculo.

0,5 p. por el planteamiento del área de la región superior.

0,5 p. por el cálculo.

0,25 p. por el cálculo del coste final.

Comentarios: hay otras maneras de plantear el cálculo de las dos áreas. Puntúenlas bien si lo hacen correctamente y de manera justificada.