Probabilidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Consideramos los sucesos aleatorios siguientes:$$A = \text{“la pieza escogida es de acero”},$$$$F = \text{“la pieza escogida es de hierro”},$$$$D = \text{“la pieza escogida es defectuosa”}.$$De los datos del enunciado tenemos $P(F) = 0{,}6$, $P(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$, $P(D \mid F) = 0{,}05$, $P(D \mid A) = 0{,}03$. Por la ley de probabilidades totales, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es:$$P(D) = P(D \mid F)\,P(F) + P(D \mid A)\,P(A) = 0{,}05 \cdot 0{,}6 + 0{,}03 \cdot 0{,}4 = 0{,}042.$$b) Llamamos $X$ al número de piezas defectuosas en un paquete. Del enunciado deducimos que $X$ sigue una ley binomial con $n = 5$ y probabilidad $p$. Por tanto, la probabilidad de que en un paquete haya exactamente cuatro piezas defectuosas es:$$P(X = 4) = \binom{5}{4} p^4 (1 - p) = \frac{5!}{4!}\, p^4 (1 - p) = 5\,p^4 (1 - p) = 5(p^4 - p^5).$$También podemos argumentar directamente sin utilizar la ley binomial. Como hay cuatro piezas defectuosas, habrá exactamente una que no lo es. La probabilidad de que una en concreto (por ejemplo, la primera) sea buena y las otras cuatro defectuosas es $(1 - p)\,p^4$. Como hay cinco posibilidades para escoger cuál es la pieza buena, $P(X = 4) = 5(1 - p)\,p^4 = 5(p^4 - p^5)$.

c) Buscamos los extremos relativos de la función $f(p) = 5(p^4 - p^5)$.$$f'(p) = 5(4p^3 - 5p^4) = 0 \quad\to\quad p = 0,\ p = \frac{4}{5}.$$Observamos que $f(0) = 0$ y que $f\!\left(\frac{4}{5}\right) > 0$. Miramos el signo de la segunda derivada:$$f''(p) = 5(12p^2 - 20p^3) \quad\to\quad f''\!\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(12\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 20\left(\frac{4}{5}\right)^3\right) < 0,$$y deducimos que en $p = \frac{4}{5}$ la función $f(p)$ alcanza un máximo local. Como para $p \in \left(0, \frac{4}{5}\right)$ la función crece y para $p > \frac{4}{5}$ la función decrece, se trata de un máximo absoluto cuando $p$ es no negativa. Y el valor máximo será $f\!\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\left(\frac{4}{5}\right)^4 - \left(\frac{4}{5}\right)^5\right) = 0{,}41$.

Criterios de corrección:

a)

0,25 p. por plantear la ley de la probabilidad total (o hacer el árbol de decisión o similar).

0,25 p. por identificar correctamente los datos del problema.

0,25 p. por el cálculo concreto.

b)

0,5 p. por el planteamiento.

0,25 p. por el cálculo.

c)

0,25 p. por el cálculo de la derivada y los puntos críticos.

0,5 p. por argumentar que el máximo absoluto en $p > 0$ se encuentra en $p = 4/5$.

0,25 p. por encontrar el valor de este máximo.