Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz de coeficientes y la ampliada, $A$ y $A'$ respectivamente, son las siguientes:$$\underbrace{\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & p + 3 \\ p^2 & 0 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right)}_{A'}$$En primer lugar, calculamos el determinante de $A$:$$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ p^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + p^2 - 1 = p^2 - 1.$$Igualándolo a cero, resultan los valores $p = 1$ y $p = -1$. Por tanto, distinguimos los casos siguientes:

• Si $p \neq 1, -1$, el determinante de $A$ es diferente de cero y, por tanto, $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A') = 3$, que es igual al número de incógnitas. Por tanto, se trata de un sistema compatible determinado.

• Si $p = 1$, el determinante de la matriz de coeficientes es cero; como tenemos el menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, entonces $\operatorname{rang}(A) = 2$. Pero la matriz ampliada tiene $\operatorname{rang}(A') = 3$ gracias, por ejemplo, al menor:$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 5 - 4 - 3 = -2 \neq 0.$$Por tanto, el sistema es incompatible.

• Si $p = -1$, tenemos el sistema:$$\begin{cases} y - z = 2 \\ x - z = 5 \\ x - y = 3. \end{cases}$$Eliminando la segunda ecuación (por ser suma de la primera y la tercera), y como la matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ tiene rango 2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

b) Para el caso $p = -1$, se trata del sistema:$$\begin{cases} y - z = 2 \\ x - y = 3, \end{cases}$$que es compatible indeterminado. Haciendo $y = \lambda$, se obtiene $x = \lambda + 3$ y $z = \lambda - 2$. Por tanto, la solución del sistema es, en este caso, $(x, y, z) = (\lambda + 3, \lambda, \lambda - 2)$, con $\lambda$ real.

c) Para el caso $p = -1$, el sistema tiene las infinitas soluciones obtenidas en el apartado anterior. Imponiendo, además, que $xy = 10$, resulta $(\lambda + 3)\lambda = 10$; es decir, $\lambda^2 + 3\lambda - 10 = 0$; de aquí obtenemos:$$\lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} = -5,\ 2.$$Por tanto, el sistema tiene exactamente dos soluciones que cumplen $xy = 10$, que son las correspondientes a $\lambda = -5$ y $\lambda = 2$. Se trata de $(x, y, z) = (-2, -5, -7)$ y $(x, y, z) = (5, 2, 0)$, respectivamente.

Criterios de corrección:

a)

0,25 p. por el cálculo del determinante.

0,25 p. por determinar los valores críticos de $p$.

0,25 p. por la discusión de cada uno de los tres casos.

b)

0,5 p. por el cálculo correcto del conjunto de soluciones (evidentemente, pueden escoger cualquiera de las variables como libre).

c)

0,25 p. por el planteamiento de la ecuación cuadrática.

0,25 p. por su resolución.

0,25 p. por el cálculo de los dos puntos resultantes.

Comentarios: hay otras maneras de discutir y resolver el sistema de ecuaciones. Puntúenlas bien en la medida en que lo hagan correctamente y de manera justificada.