Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Como $f(0) = \dfrac{0}{-1} = 0$, el corte con el eje de ordenadas está en el punto $(0, 0)$. Para los cortes con el eje de abscisas, tenemos que resolver la ecuación $\dfrac{x^2 - 2x}{x - 1} = 0$, que tiene como soluciones $x = 0$ y $x = 2$; por tanto, los cortes con el eje de abscisas son $(0, 0)$ y $(2, 0)$.

Esta función tiene una asíntota vertical en $x = 1$, ya que este punto está fuera del dominio y $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x}{x - 1} = \frac{-1}{0} = \pm\infty$ (más precisamente, $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 2x}{x - 1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$ y $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 2x}{x - 1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$). Además, esta función tiene una asíntota oblicua, ya que:$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x}{x^2 - x} = \frac{1}{1} = 1.$$Como$$\lim_{x \to \infty} \bigl(f(x) - x\bigr) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 2x}{x - 1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x - 1} = -1,$$se trata de la recta $y = x - 1$.

b) La derivada de esta función es:$$f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2}.$$Como $f(0) = 0$ y $f'(0) = 2$, la recta tangente en el punto $(0, 0)$ tendrá por ecuación:$$y - 0 = 2(x - 0) \quad\longrightarrow\quad y = 2x.$$Análogamente, como $f(2) = \dfrac{4 - 4}{1} = 0$ y $f'(2) = \dfrac{4 - 4 + 2}{1} = 2$, la recta tangente en el punto $(2, 0)$ tendrá por ecuación:$$y - 0 = 2(x - 2) \quad\longrightarrow\quad y = 2x - 4.$$Estas dos rectas son paralelas, ya que tienen la misma pendiente: $f'(0) = f'(2) = 2$.

c) Igualando la derivada a 1, nos queda una ecuación sin solución:$$\frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} = 1 \quad\longrightarrow\quad x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 \quad\longrightarrow\quad 2 = 1.$$Por tanto, no hay ningún punto donde la recta tangente tenga pendiente 1.

Criterios de corrección:

a)

0,25 p. por los puntos de corte.

0,25 p. por la asíntota vertical (aunque no distingan el límite por la derecha y por la izquierda).

0,5 p. por la ecuación de la asíntota oblicua.

b)

0,25 p. por el cálculo de la derivada.

0,25 p. por cada una de las rectas tangentes.

0,25 p. por justificar correctamente que son paralelas.

c)

0,25 p. por plantear la ecuación.

0,25 p. por ver que no tiene solución y responder que la gráfica no tiene ninguna recta tangente con pendiente 1.