Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Solo hay que aplicar la fórmula de la distancia punto-plano para comprobar que$$d(P, \pi) = \frac{|2\cdot 0 - 1 + 3 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por la comprobación de que la distancia es la que dice el enunciado (incluida la simplificación de la fracción con raíces).

b) Todo plano paralelo a $\pi$ es de la forma $2x - y + z = D$ para algún $D$ real. Como queremos que pase por el punto $P$, tenemos$$2\cdot 0 - 1 + 3 = D$$y, por tanto, $D = 2$. El plano buscado es $\pi_1\colon 2x - y + z = 2$. Claramente, la distancia entre $\pi_1$ y $\pi$ es $d(\pi_1, \pi) = d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Criterios de corrección:

• 0,5 p. por la ecuación del plano paralelo.
• 0,25 p. por argumentar que la distancia es la misma.

c) Para encontrar un segundo plano $\pi_2$, también paralelo a $\pi$ y que también esté a distancia $\frac{\sqrt{6}}{2}$ de $\pi$, buscaremos el punto simétrico, $P'$, de $P$ respecto al plano $\pi$. Buscamos la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $P$. La ecuación paramétrica de esta recta es$$r\colon (x, y, z) = (0, 1, 3) + \lambda\cdot(2, -1, 1) = (2\lambda,\ 1 - \lambda,\ 3 + \lambda).$$Buscamos el punto de intersección $M$ de la recta $r$ con el plano $\pi$:$$\begin{gathered} 2\cdot(2\lambda) - (1 - \lambda) + 3 + \lambda = 5 \\ 6\lambda = 3 \\ \lambda = \frac{1}{2}. \end{gathered}$$Por tanto, $M = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$. Ahora hay que encontrar el punto simétrico $P'$ de $P$ respecto de $\pi$, haciendo, por ejemplo, $P' = P + 2\overrightarrow{PM} = (0, 1, 3) + 2\cdot\left(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = (2, 0, 4)$.

Finalmente, el plano buscado es de la forma $2x - y + z = E$ para algún $E$ real y pasa por $P'$; así pues,$$2\cdot 2 - 0 + 4 = E,$$y $E = 8$. Tenemos, pues, que $\pi_2$ es el plano de ecuación $2x - y + z = 8$.

Alternativamente, también pueden plantear la ecuación de la distancia de un plano paralelo genérico a un punto cualquiera de $\pi$ y pedir que sea $\sqrt{6}/2$. Una solución será $\pi_1$ y la otra, el plano buscado $\pi_2$. Cuenten como buena esta manera alternativa si está bien justificada y calculada.

Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el cálculo de la proyección.
• 0,5 p. por el cálculo del punto simétrico.
• 0,25 p. por la ecuación final del plano.