Matemáticas IIMedio2,5 pts

Integrales

Cataluña · 2025 · Septiembre

Enunciado

Opción A. Un vidriero está reparando uno de los vitrales de la Sagrada Familia, cuya forma es la de la parte sombreada de la figura adjunta. Se ha dado cuenta de que Gaudí lo diseñó de modo que uno de los lados sigue la función

y = 3\sin(x/4)

y otro sigue la función

y = 3\cos(x/4)

, donde

x

e

y

están expresadas en metros.

El vitral sombreado, entre el eje de ordenadas y dos curvas: una sale del origen A y sube, y la otra parte de B, en el eje de ordenadas, y baja; las dos se cortan en el punto C

a) (1 punto) Razone a qué función corresponde cada gráfica y calcule las coordenadas de los puntos

B

y

C

señalados en la figura (teniendo en cuenta que

A

es el origen de coordenadas).

b) (1,5 puntos) Calcule el precio del vitral sabiendo que cuesta 750 €/m².

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) La curva inferior (por

A

y

C

) es

y = 3\sin(x/4)

y la superior (por

B

y

C

),

y = 3\cos(x/4)

;

B = (0, 3)

y

C = \left(\pi, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)

.

b) Área

= 12\left(\sqrt{2} - 1\right) \simeq 4{,}97\ \text{m}^2

; precio: 3.725,5 €.

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Como

3\sin\left(\frac{0}{4}\right) = 0

y

3\cos\left(\frac{0}{4}\right) = 3

, la gráfica inferior (la que pasa por los puntos

A

y

C

) es la del seno, y la superior (la que pasa por

B

y

C

) es la del coseno. El punto

B

corresponde al valor de

3\cos\left(\frac{0}{4}\right) = 3

; por tanto, es el punto

B = (0, 3)

. Finalmente, el punto

C

es el punto de corte entre el seno y el coseno,

3\sin\left(\frac{x}{4}\right) = 3\cos\left(\frac{x}{4}\right)

,

\frac{3\sin\left(\frac{x}{4}\right)}{3\cos\left(\frac{x}{4}\right)} = 1 \;\longrightarrow\; \tan\left(\frac{x}{4}\right) = 1 \;\longrightarrow\; \frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} \;\longrightarrow\; x = \pi.

Como

3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}

, el punto de corte es

C = \left(\pi, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)

.

Criterios de corrección:

0,5 p. por razonar qué gráfica es cada una.
0,25 p. por las coordenadas del punto $B$ .
0,25 p. por las del punto $C$ .

b) Para calcular el precio del vitral necesitamos encontrar su área:

\begin{aligned} A &= \int_0^{\pi}\left(3\cos\left(\frac{x}{4}\right) - 3\sin\left(\frac{x}{4}\right)\right)dx = \left[12\sin\left(\frac{x}{4}\right) + 12\cos\left(\frac{x}{4}\right)\right]_0^{\pi} \\ &= 12\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0) - \cos(0)\right) = 12\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - 1\right) \\ &= 12\left(\sqrt{2} - 1\right) \simeq 4{,}97\ \text{m}^2. \end{aligned}

Por tanto, el precio del vitral será de

4{,}97\ \text{m}^2\cdot 750

€/m²

= 3.725{,}5

€.

Criterios de corrección:

0,25 p. por plantear la integral correctamente.
0,5 p. por la primitiva.
0,5 p. por encontrar el área.
0,25 p. por el precio final.

Cuenten 0 en la parte de la primitiva si no tratan adecuadamente el coeficiente del seno y del coseno.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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