Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

También trata: Derivadas y aplicaciones
Cataluña · 2025 · Septiembre
Enunciado
La lesión por sesamoiditis (inflamación del hueso sesamoide del pie) es relativamente habitual entre la población que practica deportes de impacto (atletismo, baloncesto, tenis…). En una población de deportistas, se ha realizado un estudio diferenciando entre los que practican deportes de impacto y los que practican deportes sin impacto brusco (como natación, pilates, senderismo…). Se ha podido determinar que el 45 %45\ \% practican deportes de impacto. Entre ellos, un 10 %10\ \% padecen lesiones por sesamoiditis, mientras que entre los que no practican deportes de impacto solamente un 3 %3\ \% presentan esta lesión. Escogemos a un deportista al azar.

a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que padezca sesamoiditis?

b) (0,75 puntos) Si el deportista escogido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto?

Una empresa de calzado deportivo ha creado una zapatilla con amortiguación para minimizar las lesiones por sesamoiditis. Los beneficios generados por la venta de este producto, en miles de euros, siguen una función de la forma f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx, donde xx son los años transcurridos desde que la zapatilla salió a la venta y aa, bb y cc son constantes reales.

c) (1 punto) Calcule los valores de aa, bb y cc sabiendo que el primer año se alcanzó el máximo de beneficios, por valor de 8 0008\,000 euros, y que en el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios.
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Resultado
a) P(S)=0,0615P(S) = 0{,}0615.

b) P(I∣S)≈0,7317P(I \mid S) \approx 0{,}7317.

c) a=2a = 2, b=−12b = -12, c=18c = 18: f(x)=2x3−12x2+18xf(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x.
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) Consideramos los sucesos aleatorios

II = «practicar un deporte de impacto»,

SS = «padecer sesamoiditis».

De los datos del enunciado sabemos que P(I)=0,45P(I) = 0{,}45, P(Iˉ)=1−0,45=0,55P(\bar I) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55, P(S∣I)=0,1P(S \mid I) = 0{,}1 y P(S∣Iˉ)=0,03P(S \mid \bar I) = 0{,}03. Por la ley de las probabilidades totales, tenemos:P(S)=P(S∣I) P(I)+P(S∣Iˉ) P(Iˉ)=0,1⋅0,45+0,03⋅0,55=0,0615.P(S) = P(S \mid I)\,P(I) + P(S \mid \bar I)\,P(\bar I) = 0{,}1\cdot 0{,}45 + 0{,}03\cdot 0{,}55 = 0{,}0615.Criterios de corrección:
  • 0,25 p. por plantear la ley de la probabilidad total (o hacer un árbol de decisión o similar).
  • 0,25 p. por identificar correctamente los datos del problema.
  • 0,25 p. por el cálculo.
b) Por la fórmula de Bayes:P(I∣S)=P(S∣I) P(I)P(S)=0,1⋅0,450,0615≈0,7317…P(I \mid S) = \frac{P(S \mid I)\,P(I)}{P(S)} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}45}{0{,}0615} \approx 0{,}7317\ldotsCriterios de corrección:
  • 0,25 p. por plantear correctamente la fórmula de Bayes (o la fórmula de la probabilidad condicionada).
  • 0,5 p. por el cálculo.
c) El primer año se obtiene el máximo de beneficios; por tanto, x=1x = 1 es un máximo de la función y f′(1)=0f'(1) = 0; y estos beneficios obtenidos son de 8.000 €; por tanto, f(1)=8f(1) = 8. También nos dicen que el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios; por tanto, f′′(2)=0f''(2) = 0. Calculamos la primera y la segunda derivadas de f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx e imponemos estas tres condiciones:f′(x)=3ax2+2bx+c,f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c,f′′(x)=6ax+2b,f''(x) = 6ax + 2b,f′(1)=0⇒3a+2b+c=0f(1)=8⇒a+b+c=8f′′(2)=0⇒12a+2b=0}\left.\begin{aligned} f'(1) = 0 &\Rightarrow 3a + 2b + c = 0 \\ f(1) = 8 &\Rightarrow a + b + c = 8 \\ f''(2) = 0 &\Rightarrow 12a + 2b = 0 \end{aligned}\right\}Restando las dos primeras ecuaciones obtenemos 2a+b=−82a + b = -8 y, combinándola con la tercera:12a+2b=02a+b=−8}  ⟹  12a+2b=0−4a−2b=16}  ⟹  8a=16  ⟹  a=168=2.\left.\begin{aligned} 12a + 2b &= 0 \\ 2a + b &= -8 \end{aligned}\right\} \;\Longrightarrow\; \left.\begin{aligned} 12a + 2b &= 0 \\ -4a - 2b &= 16 \end{aligned}\right\} \;\Longrightarrow\; 8a = 16 \;\Longrightarrow\; a = \frac{16}{8} = 2.Por tanto, 2⋅2+b=−82\cdot 2 + b = -8, de donde b=−12b = -12. Finalmente,a+b+c=8  ⟹  c=8−a−b=8−2+12=18.a + b + c = 8 \;\Longrightarrow\; c = 8 - a - b = 8 - 2 + 12 = 18.La función que da los beneficios de esta empresa es, pues, f(x)=2x3−12x2+18xf(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x.

Criterios de corrección:
  • 0,25 p. por imponer f′(1)=0f'(1) = 0.
  • 0,25 p. por imponer f(1)=8f(1) = 8.
  • 0,25 p. por imponer f′′(2)=0f''(2) = 0.
  • 0,25 p. por el cálculo final.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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