Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m & 0 & 2 \\ 0 & m & -1 \end{vmatrix} = m^2 - (2m - 3m) = m^2 + m = m(m + 1)$$y observamos que se anula cuando $m = 0$ y $m = -1$. Por tanto:

• Si $m \neq 0$ y $m \neq -1$, el rango de la matriz de coeficientes es $\operatorname{rang}(A) = 3$, el rango de la matriz ampliada también y, como también coincide con el número de incógnitas, 3, el sistema es compatible determinado; tiene, por tanto, solución única.
• Si $m = 0$, la matriz de coeficientes tiene determinante cero y rango 2 (por ejemplo, gracias al menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$). Como la matriz ampliada $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$ también tiene rango 2, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que dependerán de un parámetro.
• Si $m = -1$, la matriz de coeficientes también tiene rango 2, mientras que el rango de la ampliada es 3: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$ (desarrollando, por ejemplo, el determinante de las tres últimas columnas por la segunda fila). Por tanto, el sistema es incompatible y no tiene solución.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por el cálculo del determinante.
• 0,25 p. por la determinación de los valores críticos de $m$.
• 0,25 p. por el análisis de cada uno de los tres casos.

b) Si $m = 1$, el sistema queda$$\left.\begin{aligned} x + 3y + z &= 5 \\ x + 2z &= 0 \\ y - z &= 1 \end{aligned}\right\}$$y sabemos que es compatible determinado. Sustituyendo $x = -2z$ e $y = 1 + z$ en la primera ecuación obtenemos$$-2z + 3(1 + z) + z = 5,$$de donde resulta $2z = 2$ y $z = 1$. Por tanto, la solución es $(x, y, z) = (-2, 2, 1)$.

Criterios de corrección:

• 0,5 p. por la resolución del sistema.

c) El sistema tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado, es decir, cuando $m = 0$. En este caso, de las dos últimas ecuaciones resulta $z = 0$, y la primera nos dice $x + 3y = 5$. Por tanto, las soluciones del sistema son las de la forma:$$\left.\begin{aligned} x &= 5 - 3k \\ y &= k \in R \\ z &= 0 \end{aligned}\right\}$$Criterios de corrección:

• 0,25 p. por reconocer el valor de $m$ al que se refiere el enunciado.
• 0,5 p. por el cálculo de la expresión paramétrica de la solución.