Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Teniendo en cuenta que la recta $r$ ha de pasar por el punto $P = (1, 1)$ y que $m$ es su pendiente, la recta $r$ tiene por ecuación $y - 1 = m(x - 1)$. La medida de la base del triángulo es la abscisa del punto de intersección de la recta $r$ con el eje $OX$:$$\left.\begin{aligned} y - 1 &= m(x - 1) \\ y &= 0 \end{aligned}\right\} \;\to\; 0 - 1 = m(x - 1) \;\to\; x = \frac{m - 1}{m}.$$Y la altura del triángulo es la ordenada del punto de intersección de la recta $r$ con $y = 3x$:$$\left.\begin{aligned} y - 1 &= m(x - 1) \\ y &= 3x \end{aligned}\right\} \;\to\; 3x - 1 = m(x - 1) \;\to\; x = \frac{m - 1}{m - 3},\quad y = 3\cdot\frac{m - 1}{m - 3}.$$La función que hay que minimizar es la que calcula el área del triángulo:$$A(m) = \frac{1}{2}\cdot\frac{m - 1}{m}\cdot 3\cdot\frac{m - 1}{m - 3} = \frac{3}{2}\cdot\frac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}.$$Hablando estrictamente, el valor del área es $A(m) = \left|\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}\right|$, porque hay valores de $m$ para los cuales esta expresión es negativa. No lo tengan en cuenta si ignoran este detalle.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por la ecuación del haz de rectas.
• 0,25 p. por la medida de la base del triángulo.
• 0,25 p. por la altura.
• 0,25 p. por el cálculo del área (todo en función de $m$).

b) Derivamos la función área e igualamos a cero para encontrar los posibles extremos relativos:$$A'(m) = \frac{3}{2}\cdot\frac{(2m - 2)(m^2 - 3m) - (m^2 - 2m + 1)(2m - 3)}{(m^2 - 3m)^2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{-m^2 - 2m + 3}{(m^2 - 3m)^2} = 0,$$$$-m^2 - 2m + 3 = 0 \;\to\; m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)3}}{-2} = \frac{2 \pm 4}{-2} = 1,\ -3.$$Para comprobar si son máximos o mínimos hacemos la segunda derivada:$$A''(m) = \frac{3}{2}\cdot\frac{(-2m - 2)(m^2 - 3m)^2 - (-m^2 - 2m + 3)\,2(m^2 - 3m)(2m - 3)}{(m^2 - 3m)^4},$$y, como $A''(-3) = \dfrac{1}{54} > 0$ y $A''(1) = -\dfrac{3}{2} < 0$, el mínimo corresponde a $m = -3$ (según el esbozo, la pendiente ya ha de ser negativa).

Alternativamente, podemos estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función $A(m)$. Estos vienen dados por el signo de la primera derivada, pero, como esta tiene un cuadrado en el denominador, dependerá solo del signo del numerador $-m^2 - 2m + 3$. Esto es una parábola abierta hacia abajo que corta el eje $OX$ en los puntos $(-3, 0)$ y $(1, 0)$; así pues, para $m < -3$ la derivada es negativa y la función decrece, y para $-3 < m < 1$ la derivada es positiva y la función crece, por lo cual en $m = -3$ el área es mínima. El valor de esta área es:$$A(-3) = \frac{3}{2}\cdot\frac{(-3)^2 - 2(-3) + 1}{(-3)^2 - 3(-3)} = \frac{3}{2}\cdot\frac{16}{18} = \frac{4}{3}\ u^2.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por la derivada.
• 0,25 p. por calcular los puntos críticos.
• 0,5 p. por justificar el mínimo.
• 0,25 p. por calcular el valor del área.