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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Un comercial de venta por teléfono sabe que en el 30% de sus llamadas no consigue una venta. Este comercial realiza 10 llamadas.

a) Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas. (3 puntos)

b) Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas. (3 puntos)

c) Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas. (4 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Datos (de la tabla de la distribución binomial del examen): para

n = 10

p = 0{,}30

, los valores de

F(x) = P(X \le x)

son

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$F(x)$	0,0282	0,1493	0,3828	0,6496	0,8497	0,9527	0,9894	0,9984	0,9999	1,0000	1,0000

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Resultado

P(\text{más de 7 ventas}) = P(X \le 2) = 0{,}3828

.

b)

P(\text{al menos 5 ventas}) = P(X \le 5) = 0{,}9527

.

c)

P(3 \le \text{ventas} \le 8) = P(X \le 7) - P(X \le 1) = 0{,}8491

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada llamada es un ensayo independiente con dos resultados (venta o no venta), siempre con la misma probabilidad, y se hacen 10: es una binomial.

El número de ventas sería

Y \sim B(10;\ 0{,}7)

, pero la tabla solo llega a

p = 0{,}5

. El truco es contar al revés: el número de llamadas sin venta,

X \sim B(10;\ 0{,}3), \qquad Y = 10 - X

y traducir cada pregunta sobre ventas a una pregunta sobre

X

, que sí está en la tabla.

Desarrollo

Variables.

Y

= número de ventas en las 10 llamadas;

X

= número de llamadas sin venta.

X \sim B(10;\ 0{,}3)

Y = 10 - X

.

a) Más de 7 ventas.

Y > 7 \iff Y \ge 8 \iff X = 10 - Y \le 2

P(Y > 7) = P(X \le 2) = 0{,}3828

b) Al menos 5 ventas.

Y \ge 5 \iff X \le 5 \qquad\Longrightarrow\qquad P(Y \ge 5) = P(X \le 5) = 0{,}9527

c) Entre 3 y 8 ventas (los dos incluidos).

3 \le Y \le 8 \iff 3 \le 10 - X \le 8 \iff 2 \le X \le 7

P(3 \le Y \le 8) = P(2 \le X \le 7) = P(X \le 7) - P(X \le 1) = 0{,}9984 - 0{,}1493 = 0{,}8491

Comprobación de a) sin tabla:

P(X \le 2) = 0{,}7^{10} + 10\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^{9} + 45\cdot 0{,}3^2\cdot 0{,}7^{8} \approx 0{,}0282 + 0{,}1211 + 0{,}2335 = 0{,}3828 \ \checkmark

Consejo

Cuando la probabilidad de «éxito» pasa de $0{,}5$ y la tabla no llega, cuenta los fracasos: $Y = n - X$ . Lo delicado es traducir las desigualdades: «más de 7» es $\ge 8$ y pasa a $X \le 2$ ; en un intervalo, $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a - 1)$ , y restar $F(a)$ en lugar de $F(a-1)$ es el error más típico. Di siempre qué variable usas y cuál es su distribución.