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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Una bolsa contiene dos monedas que llamamos

M_1

M_2

. La moneda

M_1

es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda

M_1

es de

0{,}6

. La moneda

M_2

tiene una cara impresa en ambos lados.

a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces.

a.1) ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos)

a.2) ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos)

b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda

M_1

. Responder a la misma pregunta para la moneda

M_2

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a.1)

P(\text{tres caras}) = \frac{64}{125} = 0{,}512

.

a.2)

P(\text{exactamente una cruz}) = \frac{48}{125} = 0{,}384

.

b)

P(M_1 \mid 2C) = \frac{9}{34} \approx 0{,}2647

P(M_2 \mid 2C) = \frac{25}{34} \approx 0{,}7353

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que distinguir bien los dos experimentos:

a) En cada repetición se vuelve a elegir moneda (se devuelve a la bolsa). Así, las tres tiradas son independientes y todas tienen la misma probabilidad de cara, que se calcula una vez con la probabilidad total. Después, el número de caras en tres tiradas es una binomial $B(3, p)$ .
b) Ahora se elige la moneda una sola vez y se lanza dos veces con ella: las dos tiradas dependen de la moneda. Se pide la probabilidad de la moneda sabiendo el resultado: teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

M_1

M_2

: la moneda elegida;

C

: sale cara;

X

: sale cruz. Datos:

P(M_1) = P(M_2) = \frac12, \qquad P(C \mid M_1) = 0{,}6, \qquad P(C \mid M_2) = 1

a) Probabilidad de cara en una repetición. Por la probabilidad total:

P(C) = P(M_1)\,P(C \mid M_1) + P(M_2)\,P(C \mid M_2) = \frac12\cdot 0{,}6 + \frac12\cdot 1 = 0{,}8 = \frac45

P(X) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2

. Como cada repetición empieza de cero (se devuelve la moneda y se vuelve a elegir), las tres son independientes con esa misma probabilidad.

a.1) Tres caras.

P(CCC) = 0{,}8^3 = 0{,}512 = \frac{64}{125}

a.2) Exactamente una cruz. La cruz puede salir en la primera, la segunda o la tercera repetición (

XCC

CXC

CCX

), las tres con la misma probabilidad:

P(\text{una cruz}) = \binom{3}{1}\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^2 = 3\cdot 0{,}2\cdot 0{,}64 = 0{,}384 = \frac{48}{125}

b) Dos caras con cada moneda. Con la moneda ya elegida, las dos tiradas son independientes:

P(2C \mid M_1) = 0{,}6^2 = 0{,}36, \qquad P(2C \mid M_2) = 1^2 = 1

Probabilidad total de dos caras.

P(2C) = \frac12\cdot 0{,}36 + \frac12\cdot 1 = 0{,}18 + 0{,}5 = 0{,}68

Bayes.

P(M_1 \mid 2C) = \frac{P(M_1)\,P(2C \mid M_1)}{P(2C)} = \frac{0{,}18}{0{,}68} = \frac{9}{34} \approx 0{,}2647

P(M_2 \mid 2C) = \frac{P(M_2)\,P(2C \mid M_2)}{P(2C)} = \frac{0{,}5}{0{,}68} = \frac{25}{34} \approx 0{,}7353

Comprobación.

\frac{9}{34} + \frac{25}{34} = 1

✓: tras ver dos caras, la moneda tiene que ser una de las dos.

Consejo

Lee con lupa cuándo se elige la moneda. Si se elige en cada tirada, las tiradas son independientes y basta con $P(C) = 0{,}8$ ; si se elige una vez y se tira varias veces con ella, no lo son ( $P(2C) = 0{,}68 \neq 0{,}8^2$ ) y hay que condicionar a la moneda. En el apartado de «exactamente una cruz» no olvides el factor 3: la cruz puede salir en cualquiera de las tres tiradas.