Sea el rectángulo R definido por los puntos del plano (-1, 0), (1, 0), (1, 1) y (-1, 1). Se consideran las gráficas de las funciones f(x) = x^2 y g(x) = a, 0 < a < 1, contenidas dentro de R. Obtener el valor de a que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de R. (10 puntos)

a = \dfrac{9}{16} = 0{,}5625. Con ese valor, el área entre y = x^2 e y = a dentro de R es \frac23, un tercio de \text{Área}(R) = 2.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Enunciado

Sea el rectángulo

R

definido por los puntos del plano

(-1, 0)

(1, 0)

(1, 1)

(-1, 1)

. Se consideran las gráficas de las funciones

f(x) = x^2

g(x) = a

0 < a < 1

, contenidas dentro de

R

. Obtener el valor de

a

que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de

R

. (10 puntos)

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Resultado

a = \dfrac{9}{16} = 0{,}5625

. Con ese valor, el área entre

y = x^2

y = a

dentro de

R

\frac23

, un tercio de

\text{Área}(R) = 2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dibuja el rectángulo

[-1, 1] \times [0, 1]

, la parábola

y = x^2

(que va de

(-1, 1)

(1, 1)

pasando por el origen) y la recta horizontal

y = a

, que la corta en

x = \pm\sqrt a

. Dentro del rectángulo, entre las dos gráficas quedan tres trozos:

en el centro, $-\sqrt a < x < \sqrt a$ , la recta va por encima de la parábola;
en los lados, $\sqrt a < |x| < 1$ , la parábola va por encima de la recta (y los cierran los lados verticales de $R$ ).

El área entre las gráficas en

R

\int_{-1}^{1} |x^2 - a|\,dx

. Como todo es simétrico respecto del eje

OY

, basta con integrar en

[0, 1]

y multiplicar por 2. Se iguala a

\frac13

del área de

R

y se despeja

a

Desarrollo

Área de $R$ . Es un rectángulo de base 2 y altura 1:

\text{Área}(R) = 2

, y su tercio es

\frac23

.

Puntos de corte.

x^2 = a \iff x = \pm\sqrt a

, que están en

(-1, 1)

porque

0 < a < 1

.

Área entre las gráficas. Por la simetría (las dos funciones son pares):

A(a) = \int_{-1}^{1} |x^2 - a|\,dx = 2\int_0^{\sqrt a} (a - x^2)\,dx + 2\int_{\sqrt a}^{1} (x^2 - a)\,dx

Primer trozo (la recta por encima):

\int_0^{\sqrt a} (a - x^2)\,dx = \left[ax - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt a} = a\sqrt a - \frac{a\sqrt a}{3} = \frac23\,a^{3/2}

Segundo trozo (la parábola por encima):

\int_{\sqrt a}^{1} (x^2 - a)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - ax\right]_{\sqrt a}^{1} = \left(\frac13 - a\right) - \left(\frac{a\sqrt a}{3} - a\sqrt a\right) = \frac13 - a + \frac23\,a^{3/2}

Área total.

A(a) = 2\left(\frac23\,a^{3/2} + \frac13 - a + \frac23\,a^{3/2}\right) = \frac83\,a^{3/2} - 2a + \frac23

Condición del enunciado.

\frac83\,a^{3/2} - 2a + \frac23 = \frac23 \;\Longrightarrow\; \frac83\,a^{3/2} = 2a \;\Longrightarrow\; a\left(\frac83\sqrt a - 2\right) = 0

Como

a > 0

, queda

\sqrt a = \dfrac{3}{4}

, es decir,

a = \frac{9}{16} = 0{,}5625

Comprobación. Con

\sqrt a = \frac34

\frac83\cdot\frac{27}{64} - 2\cdot\frac{9}{16} + \frac23 = \frac98 - \frac98 + \frac23 = \frac23

✓. Y

0 < \frac{9}{16} < 1

✓.

Consejo

Antes de integrar, dibuja y mira qué función va por encima en cada tramo: aquí cambia en $x = \pm\sqrt a$ , y si integras $x^2 - a$ de $-1$ a $1$ de un tirón las áreas se restan. Partir la integral (o usar el valor absoluto) y aprovechar la simetría para integrar solo en $[0, 1]$ ahorra cuentas y errores.