Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Caso $k = 0$. Entonces $f(x) = 0$ para todo $x$: es la función constante nula, definida en todo $\mathbb{R}$, sin crecer ni decrecer y anulándose en todos los puntos. A partir de aquí suponemos $k \neq 0$.

a) Dominio. $e^{2x} > 0$ para todo $x$, así que el denominador no se anula nunca:$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$Asíntotas verticales. No hay: la función es continua en todo $\mathbb{R}$ (cociente de funciones continuas con denominador no nulo).

Asíntota horizontal en $+\infty$. Es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$; por L'Hôpital:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx}{e^{2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{2e^{2x}} = 0$$Luego $y = 0$ es asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.

En $-\infty$. Ahora $e^{2x} \to 0^+$, y el cociente no está indeterminado:$$\lim_{x \to -\infty} kx\,e^{-2x} = \begin{cases} -\infty & \text{si } k > 0 \\ +\infty & \text{si } k < 0 \end{cases}$$No hay asíntota horizontal por la izquierda.

Asíntota oblicua en $-\infty$. La pendiente sería$$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} k\,e^{-2x} = \pm\infty$$que no es un número: no hay asíntota oblicua (y en $+\infty$ ya está la horizontal).

b) Derivada. Con la regla del producto (o del cociente) y la de la cadena:$$f'(x) = k\,e^{-2x} + kx\cdot(-2)\,e^{-2x} = k\,e^{-2x}\,(1 - 2x)$$Puntos críticos. Como $e^{-2x} > 0$, $f'(x) = 0 \iff 1 - 2x = 0 \iff x = \frac12$.

Signo de $f'$. El factor $1 - 2x$ es positivo para $x < \frac12$ y negativo para $x > \frac12$; el signo final lo da también $k$:Valor en el punto crítico.$$f\!\left(\tfrac12\right) = k\cdot\tfrac12\cdot e^{-1} = \frac{k}{2e} \approx 0{,}184\,k$$

• Si $k > 0$: crece en $\left(-\infty, \frac12\right)$, decrece en $\left(\frac12, +\infty\right)$ y tiene un máximo en $\left(\frac12, \frac{k}{2e}\right)$.
• Si $k < 0$: decrece en $\left(-\infty, \frac12\right)$, crece en $\left(\frac12, +\infty\right)$ y tiene un mínimo en $\left(\frac12, \frac{k}{2e}\right)$.
• Si $k = 0$: constante, sin extremos propiamente dichos.

c) La forma directa. $f(0) = \dfrac{k\cdot 0}{e^0} = 0$ para cualquier $k$, y $0 \in [-1, 1]$.

Con Bolzano (para $k \neq 0$). $f$ es continua en $[-1, 1]$ y$$f(-1) = -k\,e^{2}, \qquad f(1) = k\,e^{-2}$$tienen signos opuestos (el de $-k$ y el de $k$). Por el teorema de Bolzano existe $c \in (-1, 1)$ con $f(c) = 0$; ese $c$ es $0$. Si $k = 0$, la función se anula en todo el intervalo.