Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

a) Dirección de $r$.$$\overrightarrow{PQ} = (1 - 2,\ 3 - 1,\ 1 - 3) = (-1, 2, -2)$$Recta $r$. Pasa por $R = (4, 7, 6)$ con ese director:$$r: \begin{cases} x = 4 - \lambda \\ y = 7 + 2\lambda \\ z = 6 - 2\lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$b) Dos vectores del plano. $\overrightarrow{PQ} = (-1, 2, -2)$ y $\overrightarrow{PR} = (4 - 2,\ 7 - 1,\ 6 - 3) = (2, 6, 3)$.

Vector normal.$$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & 6 & 3 \end{vmatrix} = \big(2\cdot 3 - (-2)\cdot 6,\ (-2)\cdot 2 - (-1)\cdot 3,\ (-1)\cdot 6 - 2\cdot 2\big) = (18, -1, -10)$$Plano. $18x - y - 10z + D = 0$ y, por $P$: $36 - 1 - 30 + D = 0 \Rightarrow D = -5$:$$\pi: 18x - y - 10z - 5 = 0$$Comprobación. $Q$: $18 - 3 - 10 - 5 = 0$ ✓; $R$: $72 - 7 - 60 - 5 = 0$ ✓.

c) Punto genérico de $r$. $X_\lambda = (4 - \lambda,\ 7 + 2\lambda,\ 6 - 2\lambda)$.

Vértice que sigue a $Q$. Llamémoslo $C$: el lado $QC$ es perpendicular a $PQ$, es decir, $\overrightarrow{QX_\lambda} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$:$$\overrightarrow{QX_\lambda} = (3 - \lambda,\ 4 + 2\lambda,\ 5 - 2\lambda)$$$$-(3 - \lambda) + 2(4 + 2\lambda) - 2(5 - 2\lambda) = 9\lambda - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac59$$$$C = \left(4 - \tfrac59,\ 7 + \tfrac{10}{9},\ 6 - \tfrac{10}{9}\right) = \left(\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9}\right)$$Vértice que sigue a $P$. Llamémoslo $D$, con $\overrightarrow{PX_\lambda} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$:$$\overrightarrow{PX_\lambda} = (2 - \lambda,\ 6 + 2\lambda,\ 3 - 2\lambda)$$$$-(2 - \lambda) + 2(6 + 2\lambda) - 2(3 - 2\lambda) = 9\lambda + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac49$$$$D = \left(4 + \tfrac49,\ 7 - \tfrac89,\ 6 + \tfrac89\right) = \left(\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9}\right)$$Comprobación. $\overrightarrow{DC} = \left(-1, 2, -2\right) = \overrightarrow{PQ}$ ✓: $PQCD$ tiene los lados opuestos iguales y paralelos, y ángulos rectos en $P$ y en $Q$.

Una advertencia sobre los datos. Si medimos los lados:$$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad |\overrightarrow{QC}| = \frac{1}{9}\sqrt{22^2 + 46^2 + 35^2} = \frac{\sqrt{3825}}{9} = \frac{5\sqrt{17}}{3} \approx 6{,}87$$Los lados no miden lo mismo: con estos datos la figura $PQCD$ es un rectángulo, no un cuadrado. La recta $r$ está a $\frac{5\sqrt{17}}{3}$ de la recta $PQ$, y para que hubiera un cuadrado esa distancia tendría que ser 3. El enunciado tiene, por tanto, una incoherencia en los datos; los criterios oficiales de corrección dan como respuesta estos dos puntos, los pies de las perpendiculares desde $P$ y $Q$ a $r$, que es lo que se pide construir.