Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

a) Condición de paralelismo.$$\vec d \cdot \vec n = 2\cdot 3 + 3\cdot(-m) + (-1)\cdot 1 = 5 - 3m = 0 \;\Longrightarrow\; m = \frac{5}{3}$$Si $m \neq \frac53$, la recta corta al plano en un punto.

¿Está la recta contenida en el plano? Además del paralelismo, el punto $P_r = (1, -1, -2)$ tendría que cumplir la ecuación de $\pi$:$$3\cdot 1 - m\cdot(-1) + (-2) = 1 + m = 1 \;\Longrightarrow\; m = 0$$Pero con $m = 0$ no hay paralelismo ($5 - 0 \neq 0$), y con $m = \frac53$ el punto no está en el plano ($1 + \frac53 = \frac83 \neq 1$). Las dos condiciones no se cumplen a la vez: no existe ningún valor de $m$ para el que $\pi$ contenga a $r$. Con $m = \frac53$, recta y plano son paralelos y disjuntos.

b) Plano paralelo a $\pi$ con $m = \frac53$. Tiene el normal $\left(3, -\frac53, 1\right)$ o, multiplicando por 3, $(9, -5, 3)$:$$\pi': 9x - 5y + 3z + D = 0$$Que contenga a $r$. Como $r$ es paralela a $\pi$, basta con que $\pi'$ pase por $P_r = (1, -1, -2)$:$$9 + 5 - 6 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -8 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi': 9x - 5y + 3z - 8 = 0$$Comprobación. Otro punto de $r$ ($\lambda = 1$): $(3, 2, -3)$; $27 - 10 - 9 - 8 = 0$ ✓.

c) Distancia de $P$ a $\pi$. Escribimos el plano como $3x - my + z - 1 = 0$:$$d(P, \pi) = \frac{|3\cdot 1 - m\cdot(-1) + (-2) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-m)^2 + 1^2}} = \frac{|3 + m - 2 - 1|}{\sqrt{10 + m^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{10 + m^2}}$$Lectura. Se anula solo para $m = 0$, que es justo cuando $P$ (el punto de $r$) está en el plano, como vimos en a).