Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

a) Determinante. Desarrollando por la segunda fila, en la que solo queda el término $m$:$$|A| = m\,\begin{vmatrix} 1 & m \\ m & m \end{vmatrix} = m\,(m - m^2) = m^2(1 - m)$$Se anula para $m = 0$ y $m = 1$.

Caso $m \neq 0$ y $m \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 3$.

Caso $m = 0$. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 2) vale $1 \neq 0$: $\text{rg}(A) = 2$.

Caso $m = 1$. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$: $\text{rg}(A) = 2$.

b) La matriz con $m = -1$.$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = (-1)^2\,(1 - (-1)) = 2 \neq 0$$Es invertible, así que $AX = B \Longrightarrow X = A^{-1}B$.

Matriz de adjuntos.$$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$Inversa. $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\text{Adj}(A)^t$:$$A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac32 & -\frac12 \\ 0 & -1 & 0 \\ -\frac12 & \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix}$$Producto. Multiplicar por $B$ se queda con las dos primeras columnas de $A^{-1}$:$$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac32 \\ 0 & -1 \\ -\frac12 & \frac12 \end{pmatrix}$$Comprobación. Primera columna: $A\,(\tfrac12, 0, -\tfrac12)^t = (\tfrac12 + \tfrac12,\ 0,\ -\tfrac12 + \tfrac12) = (1, 0, 0)$ ✓. Segunda: $A\,(-\tfrac32, -1, \tfrac12)^t = (-\tfrac32 + 2 - \tfrac12,\ 1,\ \tfrac32 - 1 - \tfrac12) = (0, 1, 0)$ ✓.

c) La matriz con $m = 0$.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$Primeras potencias.$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = A^2$$Patrón. Como $A^3 = A^2$, multiplicando por $A$ una y otra vez: $A^n = A^2$ para todo $n \geq 2$. En particular,$$A^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$