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Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Junio

Comunitat Valenciana · 2024 · Junio
Enunciado
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real mm:{−x+y+z=m2x+m y−z=3m(m−1)x+3y−z=6+m\begin{cases} -x + y + z = m \\ 2x + m\,y - z = 3m \\ (m-1)x + 3y - z = 6 + m \end{cases}Se pide:

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro mm. (6 puntos)

b) Para los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) Si m≠3m \neq 3 y m≠−2m \neq -2: compatible determinado. Si m=3m = 3: compatible indeterminado. Si m=−2m = -2: incompatible.

b) Para m=3m = 3: (x,y,z)=(12−4λ, λ, 15−5λ)(x, y, z) = (12 - 4\lambda,\ \lambda,\ 15 - 5\lambda), con λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Es la discusión clásica por Rouché-Frobenius: se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, que depende de mm, y se buscan los valores que lo anulan.
  • Si el determinante no es cero, el rango es 3 en las dos matrices: compatible determinado.
  • En cada valor que lo anula se estudia aparte el rango de la matriz ampliada: si coincide con el de AA (que será 2), compatible indeterminado; si no, incompatible.
En b) se resuelve el caso indeterminado dejando una incógnita como parámetro.
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Desarrollo

a) Matrices del sistema.A=(−1112m−1m−13−1),A∗=(−111m2m−13mm−13−16+m)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & m & -1 \\ m-1 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & m \\ 2 & m & -1 & 3m \\ m-1 & 3 & -1 & 6+m \end{array}\right)Determinante de AA. Desarrollando por la primera fila:∣A∣=−1 (−m+3)−1 (−2+(m−1))+1 (6−m(m−1))|A| = -1\,\big(-m + 3\big) - 1\,\big(-2 + (m-1)\big) + 1\,\big(6 - m(m-1)\big)∣A∣=m−3−m+3+6−m2+m=−m2+m+6=−(m−3)(m+2)|A| = m - 3 - m + 3 + 6 - m^2 + m = -m^2 + m + 6 = -(m-3)(m+2)Se anula para m=3m = 3 y m=−2m = -2.

Caso m≠3m \neq 3 y m≠−2m \neq -2. ∣A∣≠0|A| \neq 0, así que rg(A)=rg(A∗)=3=\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso m=3m = 3.A∗=(−111323−1923−19)A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & -1 & 9 \\ 2 & 3 & -1 & 9 \end{array}\right)La segunda y la tercera ecuación son iguales. El menor ∣−1123∣=−3−2=−5≠0\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 \neq 0, así que rg(A)=rg(A∗)=2<3\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro).

Caso m=−2m = -2.A∗=(−111−22−2−1−6−33−14)A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 & -6 \\ -3 & 3 & -1 & 4 \end{array}\right)El menor de las columnas de xx y zz, ∣−112−1∣=1−2=−1≠0\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0, da rg(A)=2\text{rg}(A) = 2. Orlándolo con la columna de términos independientes:∣−11−22−1−6−3−14∣=−1(−4−6)−1(8−18)−2(−2−3)=10+10+10=30≠0\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -6 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = -1(-4 - 6) - 1(8 - 18) - 2(-2 - 3) = 10 + 10 + 10 = 30 \neq 0Luego rg(A∗)=3≠rg(A)=2\text{rg}(A^*) = 3 \neq \text{rg}(A) = 2: sistema incompatible (sin solución).

b) Solución para m=3m = 3. Nos quedamos con las dos ecuaciones independientes:{−x+y+z=32x+3y−z=9\begin{cases} -x + y + z = 3 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}Tomamos y=λy = \lambda y despejamos xx y zz:{−x+z=3−λ2x−z=9−3λ\begin{cases} -x + z = 3 - \lambda \\ 2x - z = 9 - 3\lambda \end{cases}Sumando las dos: x=12−4λx = 12 - 4\lambda. Y de la primera, z=3−λ+x=15−5λz = 3 - \lambda + x = 15 - 5\lambda.

Comprobación (con λ=0\lambda = 0, el punto (12,0,15)(12, 0, 15)): −12+0+15=3-12 + 0 + 15 = 3 ✓; 24+0−15=924 + 0 - 15 = 9 ✓.
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Consejo

En la discusión no basta con decir «el determinante se anula»: en cada valor crítico hay que calcular los dos rangos con un menor concreto y nombrar el tipo de sistema. Es lo que puntúa el corrector. En el caso indeterminado, cualquier parametrización vale si es correcta: comprueba la tuya sustituyendo un valor de λ\lambda en las tres ecuaciones.
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