Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Enunciado

Se ha determinado que en el

60\,\%

de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:

a) Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos. (3 puntos)

b) Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos. (3 puntos)

c) Ocho o más mensajes tengan emoticonos. (4 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Con

X \sim B(10;\ 0{,}6)

:

a)

P(X = 0) = 0{,}4^{10} \approx 0{,}0001

.

b)

P(X = 4) \approx 0{,}1115

(con la tabla,

0{,}1114

).

c)

P(X \geq 8) \approx 0{,}1673

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada mensaje lleva o no lleva emoticono, con la misma probabilidad

0{,}6

e independientemente de los demás: el número de mensajes con emoticono entre diez es una binomial

X \sim B(10;\ 0{,}6)

.

Basta con la fórmula

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k q^{n-k}

. Si se quiere usar la tabla del examen, que solo llega a

p = 0{,}50

, se cuenta lo contrario:

Y = 10 - X

, los mensajes sin emoticono, es

B(10;\ 0{,}4)

Desarrollo

Variable.

X

= número de mensajes con emoticono,

X \sim B(n = 10,\ p = 0{,}6)

, con

q = 0{,}4

P(X = k) = \binom{10}{k}\,0{,}6^k\,0{,}4^{10-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, 10

a) Ninguno con emoticono.

P(X = 0) = \binom{10}{0}\,0{,}6^0\,0{,}4^{10} = 0{,}4^{10} = \frac{1024}{9\,765\,625} \approx 0{,}0001

b) Dos quintas partes.

\frac25

10

son

4

mensajes:

P(X = 4) = \binom{10}{4}\,0{,}6^4\,0{,}4^6 = 210\cdot 0{,}1296\cdot 0{,}004096 \approx 0{,}1115

Con la tabla.

X = 4 \iff Y = 6

, con

Y \sim B(10;\ 0{,}4)

P(Y = 6) = F(6) - F(5) = 0{,}9452 - 0{,}8338 = 0{,}1114

(la pequeña diferencia es por el redondeo de la tabla).

c) Ocho o más.

P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

P(X = 8) = \binom{10}{8}\,0{,}6^8\,0{,}4^2 = 45\cdot 0{,}01679616\cdot 0{,}16 \approx 0{,}120932

P(X = 9) = \binom{10}{9}\,0{,}6^9\,0{,}4 = 10\cdot 0{,}010077696\cdot 0{,}4 \approx 0{,}040311

P(X = 10) = 0{,}6^{10} \approx 0{,}006047

P(X \geq 8) \approx 0{,}120932 + 0{,}040311 + 0{,}006047 = 0{,}167290 \approx 0{,}1673

Con la tabla.

X \geq 8 \iff Y \leq 2

P(Y \leq 2) = F(2) = 0{,}1673

✓.

Consejo

Empieza siempre definiendo la variable y sus parámetros: « $X$ = n.º de mensajes con emoticono, $X \sim B(10;\ 0{,}6)$ ». Es lo primero que mira el corrector.

La tabla solo trae $p \leq 0{,}5$ : con $p = 0{,}6$ cuenta los fracasos ( $q = 0{,}4$ ) y traduce el suceso: «ocho o más con emoticono» es «dos o menos sin emoticono».