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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Enunciado

Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El

10{,}25\,\%

de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El

30\,\%

de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el

10\,\%

defectuosas. El

25\,\%

de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el

5\,\%

defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4 puntos)

b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? (3 puntos)

c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)

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Resultado

P(D \mid M_3) = \dfrac{2}{15} \approx 0{,}1333

.

b)

P(M_1 \mid \overline D) = \dfrac{108}{359} \approx 0{,}3008

.

c)

P(\overline{M_2} \mid D) = \dfrac{36}{41} \approx 0{,}8780

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes, con un giro: no nos dan el porcentaje de defectuosas de la tercera máquina, sino el total de defectuosas de la empresa. Así que en a) usamos la probabilidad total «al revés»: escribimos

P(D)

como suma de las tres ramas del árbol y despejamos la que falta.

Con el árbol completo, b) y c) son probabilidades condicionadas «hacia atrás» (de la lata a la máquina): Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

M_1

M_2

M_3

: la lata se fabrica en la máquina 1, 2 o 3;

D

: la lata es defectuosa.

Datos.

P(M_1) = 0{,}30, \quad P(M_2) = 0{,}25, \quad P(M_3) = 1 - 0{,}30 - 0{,}25 = 0{,}45

P(D \mid M_1) = 0{,}10, \quad P(D \mid M_2) = 0{,}05, \quad P(D) = 0{,}1025

a) Probabilidad total. Llamamos

p = P(D \mid M_3)

P(D) = P(M_1)P(D \mid M_1) + P(M_2)P(D \mid M_2) + P(M_3)P(D \mid M_3)

0{,}1025 = 0{,}30\cdot 0{,}10 + 0{,}25\cdot 0{,}05 + 0{,}45\,p = 0{,}03 + 0{,}0125 + 0{,}45\,p

Despejamos.

0{,}45\,p = 0{,}06 \;\Longrightarrow\; p = \frac{0{,}06}{0{,}45} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333

b) Probabilidad de no defectuosa.

P(\overline D) = 1 - 0{,}1025 = 0{,}8975

.

Bayes.

P(\overline D \mid M_1) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90

, así que

P(M_1 \mid \overline D) = \frac{P(M_1)\,P(\overline D \mid M_1)}{P(\overline D)} = \frac{0{,}30\cdot 0{,}90}{0{,}8975} = \frac{0{,}27}{0{,}8975} = \frac{108}{359} \approx 0{,}3008

c) Suceso contrario. «No fabricada en la segunda» es el contrario de

M_2

, también condicionado a

D

P(\overline{M_2} \mid D) = 1 - P(M_2 \mid D)

Bayes.

P(M_2 \mid D) = \frac{P(M_2)\,P(D \mid M_2)}{P(D)} = \frac{0{,}25\cdot 0{,}05}{0{,}1025} = \frac{0{,}0125}{0{,}1025} = \frac{5}{41}

P(\overline{M_2} \mid D) = 1 - \frac{5}{41} = \frac{36}{41} \approx 0{,}8780

Comprobación. Por la otra vía,

P(M_1 \mid D) + P(M_3 \mid D) = \dfrac{0{,}03 + 0{,}06}{0{,}1025} = \dfrac{0{,}09}{0{,}1025} = \dfrac{36}{41}

✓.

Consejo

Dibuja el árbol y deja la rama desconocida con una letra: así ves enseguida que a) es una ecuación de probabilidad total. Escribe los sucesos y las fórmulas antes de los números; el corrector puntúa el planteamiento.

Trabaja con fracciones o con todos los decimales hasta el final: si redondeas $\frac{2}{15}$ a $0{,}1333$ antes de usarlo en c), te sale $0{,}8779$ en lugar de $0{,}8780$ .