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OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Comunitat Valenciana · 2024 · Julio
Enunciado
Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud xx en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:
Hoja rectangular gris con un cuadrado de lado x marcado con líneas discontinuas en cada una de sus cuatro esquinas; las líneas discontinuas indican por dónde se dobla para levantar los laterales.
Hoja rectangular gris con un cuadrado de lado x marcado con líneas discontinuas en cada una de sus cuatro esquinas; las líneas discontinuas indican por dónde se dobla para levantar los laterales.
a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible. (8 puntos)

b) Dicho volumen. (2 puntos)
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) Recortando cuadrados de x=2x = 2 cm, la caja mide 1212 cm de largo, 66 cm de ancho y 22 cm de alto.

b) Vmaˊx=144 cm3V_{\text{máx}} = 144 \ \text{cm}^3.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Hay que escribir el volumen en función de xx. Al quitar un cuadrado de lado xx en cada esquina, a cada lado de la hoja se le restan 2x2x: el fondo de la caja mide (16−2x)×(10−2x)(16 - 2x) \times (10 - 2x), y al levantar las solapas la altura es xx.

Después, lo de siempre: derivar, igualar a cero, quedarse con la solución que tenga sentido físico (xx entre 00 y 55, porque el lado corto mide 10 cm) y comprobar que es un máximo.
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Desarrollo

a) Dimensiones de la caja. Para un corte xx:largo=16−2x,ancho=10−2x,alto=x\text{largo} = 16 - 2x, \qquad \text{ancho} = 10 - 2x, \qquad \text{alto} = xDominio. Todas deben ser positivas: x>0x > 0 y 10−2x>010 - 2x > 0, es decir, 0<x<50 < x < 5.

Función a maximizar.V(x)=x (16−2x)(10−2x)=x (160−52x+4x2)=4x3−52x2+160x,0<x<5V(x) = x\,(16 - 2x)(10 - 2x) = x\,(160 - 52x + 4x^2) = 4x^3 - 52x^2 + 160x, \qquad 0 < x < 5Derivada e igualación a cero.V′(x)=12x2−104x+160=4 (3x2−26x+40)=0V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4\,(3x^2 - 26x + 40) = 0x=26±676−4806=26±146  ⟹  x=2ox=203x = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 480}}{6} = \frac{26 \pm 14}{6} \;\Longrightarrow\; x = 2 \quad\text{o}\quad x = \frac{20}{3}Solución válida. x=203≈6,67x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 no está en (0,5)(0, 5): con ese corte el ancho sería negativo. Queda x=2x = 2.

Es un máximo. V′′(x)=24x−104V''(x) = 24x - 104, y V′′(2)=48−104=−56<0V''(2) = 48 - 104 = -56 < 0 ✓. (También se ve con el signo de V′V': positiva en (0,2)(0, 2) y negativa en (2,5)(2, 5); y en los extremos del intervalo el volumen tiende a 00, así que el máximo relativo es el absoluto.)

Dimensiones. Con x=2x = 2 cm:largo=16−4=12 cm,ancho=10−4=6 cm,alto=2 cm\text{largo} = 16 - 4 = 12 \ \text{cm}, \qquad \text{ancho} = 10 - 4 = 6 \ \text{cm}, \qquad \text{alto} = 2 \ \text{cm}b) Volumen máximo.V(2)=12⋅6⋅2=144 cm3V(2) = 12\cdot 6\cdot 2 = 144 \ \text{cm}^3
3

Consejo

Escribe siempre el dominio de la variable (0<x<50 < x < 5): es lo que te permite descartar x=203x = \frac{20}{3} con un argumento, y no «porque sale raro». Y justifica que es máximo (derivada segunda o signo de la derivada): sin esa comprobación se pierde parte de la nota.

Lee bien lo que se pregunta en a): las dimensiones de la caja son tres números, no solo el valor de xx.
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