Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

También trata: Derivadas y aplicaciones

Enunciado

Se considera la función

h(x) = ax + x^2

, donde

a

es un parámetro real. Se pide:

a) El valor de

a

que hace que la gráfica de la función

y = h(x)

tenga un mínimo relativo en la abscisa

x = -\frac{3}{4}

. (3 puntos)

b) Para el valor

a

del apartado anterior, dibuja las curvas

y = h(x)

y = h'(x)

. (2 puntos)

c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a = \frac32

(con

h'' = 2 > 0

, es un mínimo).

b)

h(x) = x^2 + \frac32 x

: parábola con vértice

\left(-\frac34, -\frac{9}{16}\right)

que corta al eje

X

-\frac32

0

;

h'(x) = 2x + \frac32

: recta por

\left(-\frac34, 0\right)

\left(0, \frac32\right)

. Se cortan en

\left(-1, -\frac12\right)

\left(\frac32, \frac92\right)

.

c)

\text{Área} = \dfrac{125}{48} \approx 2{,}6042 \ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un extremo relativo de una función derivable la derivada se anula:

h'\!\left(-\frac34\right) = 0

nos da

a

, y el signo de

h''

confirma que es un mínimo.

Con ese

a

h

es una parábola y

h'

una recta. Para dibujarlas basta con unos pocos puntos: vértice y cortes con los ejes de la parábola, dos puntos de la recta y, sobre todo, los puntos donde se cortan las dos, que son los límites de la integral del apartado c). El área es la integral, entre esos dos cortes, de «la de arriba menos la de abajo».

Desarrollo

a) Condición de extremo.

h'(x) = a + 2x

. En

x = -\frac34

h'\!\left(-\frac34\right) = a + 2\left(-\frac34\right) = a - \frac32 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac32

Es un mínimo.

h''(x) = 2 > 0

para todo

x

, así que en

x = -\frac34

hay un mínimo relativo ✓.

b) Las dos curvas. Con

a = \frac32

h(x) = x^2 + \frac32 x, \qquad h'(x) = 2x + \frac32

La parábola $y = h(x)$ . Abre hacia arriba (

x^2

con coeficiente positivo).

Cortes con el eje $X$ : $x\left(x + \frac32\right) = 0 \Rightarrow x = 0$ y $x = -\frac32$ . Corta al eje $Y$ en el origen.
Vértice (el mínimo de a)): $x = -\frac34$ , $h\!\left(-\frac34\right) = \frac{9}{16} - \frac98 = -\frac{9}{16}$ , es decir, $V = \left(-\frac34, -\frac{9}{16}\right)$ .

La recta $y = h'(x)$ . Pendiente

2

, corta al eje

Y

\left(0, \frac32\right)

y al eje

X

\left(-\frac34, 0\right)

(justo en la abscisa del vértice, como debe ser: ahí

h' = 0

).

Puntos de corte entre ambas.

x^2 + \frac32 x = 2x + \frac32 \;\Longrightarrow\; x^2 - \frac12 x - \frac32 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}

x = -1 \;\Rightarrow\; y = -\frac12, \qquad x = \frac32 \;\Rightarrow\; y = \frac92

El dibujo. La parábola tiene su vértice en

\left(-\frac34, -\frac{9}{16}\right)

y pasa por

\left(-\frac32, 0\right)

(0, 0)

; la recta sube cruzando el eje

X

-\frac34

y el eje

Y

\frac32

. Se cortan en

\left(-1, -\frac12\right)

\left(\frac32, \frac92\right)

, y entre esos dos puntos la recta queda por encima de la parábola (en

x = 0

, la recta vale

\frac32

y la parábola

0

La parábola h(x) = x² + 3x/2, con vértice en (−3/4, −9/16) y cortes con el eje X en −3/2 y 0, y la recta h′(x) = 2x + 3/2, que corta el eje X en −3/4 y el eje Y en 3/2. Se cortan en (−1, −1/2) y (3/2, 9/2)

c) Planteamiento. El recinto está entre

x = -1

x = \frac32

, con la recta encima:

\text{Área} = \int_{-1}^{3/2}\left[\left(2x + \frac32\right) - \left(x^2 + \frac32 x\right)\right]dx = \int_{-1}^{3/2}\left(\frac32 + \frac12 x - x^2\right)dx

Primitiva.

G(x) = \frac32 x + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3}

Regla de Barrow.

G\!\left(\frac32\right) = \frac94 + \frac{9}{16} - \frac{9}{8} = \frac{36 + 9 - 18}{16} = \frac{27}{16}, \qquad G(-1) = -\frac32 + \frac14 + \frac13 = \frac{-18 + 3 + 4}{12} = -\frac{11}{12}

\text{Área} = \frac{27}{16} - \left(-\frac{11}{12}\right) = \frac{81}{48} + \frac{44}{48} = \frac{125}{48} \approx 2{,}6042 \ \text{u}^2

Comprobación. El área entre una parábola

x^2

y una recta que la corta en

x_1

x_2

vale

\frac{(x_2 - x_1)^3}{6}

; aquí

\frac{(5/2)^3}{6} = \frac{125}{48}

✓.

Consejo

El dibujo de b) no es un adorno: te dice qué curva va por encima y entre qué valores integrar. Señala en él los puntos de corte, que son los límites de la integral de c).

Si al integrar te sale un número negativo, has restado al revés: el área es siempre «la de arriba menos la de abajo».

Paso 1 de 3

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Sigue practicando

Integrales

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función