Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Vectores y ángulosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

También trata: Rectas y planos · Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Sea el plano

\pi: 6x + 4y - 3z - d = 0

. Se pide:

a) Calcular los valores de

d

para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos)

b) Calcular, en función del parámetro

d

, las coordenadas de los puntos

A

B

C

que resultan de intersectar el plano

\pi

con los ejes de coordenadas,

X

Y

Z

, respectivamente. (3 puntos)

c) Para

d \neq 0

, calcular el ángulo formado por los vectores

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

d = \sqrt{61}

d = -\sqrt{61}

.

b)

A = \left(\frac{d}{6}, 0, 0\right)

B = \left(0, \frac{d}{4}, 0\right)

C = \left(0, 0, -\frac{d}{3}\right)

.

c)

\cos\theta = \dfrac{2\sqrt{65}}{65} \approx 0{,}2481

, así que

\theta = \arccos\dfrac{2\sqrt{65}}{65} \approx 75{,}64^\circ

(no depende de

d

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados son aplicaciones directas de fórmulas:

a) La distancia de un punto a un plano: $d(P, \pi) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + D|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ , con $P$ el origen.
b) Un punto del eje $X$ tiene $y = z = 0$ ; se sustituye en el plano y se despeja $x$ . Igual con los otros ejes.
c) El ángulo entre dos vectores sale del producto escalar: $\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$ . Veremos que $d$ se simplifica: el ángulo no depende de $d$ (los planos son todos paralelos y el triángulo $ABC$ solo cambia de tamaño).

Desarrollo

a) Distancia del origen al plano. El vector normal es

(6, 4, -3)

, con

|\vec n| = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}

d(O, \pi) = \frac{|6\cdot 0 + 4\cdot 0 - 3\cdot 0 - d|}{\sqrt{61}} = \frac{|d|}{\sqrt{61}}

Igualamos a 1.

\frac{|d|}{\sqrt{61}} = 1 \;\Longrightarrow\; |d| = \sqrt{61} \;\Longrightarrow\; d = \sqrt{61} \quad\text{o}\quad d = -\sqrt{61}

b) Corte con el eje $X$ (

y = z = 0

6x - d = 0 \Rightarrow x = \dfrac{d}{6}

, así que

A = \left(\dfrac{d}{6}, 0, 0\right)

.

Corte con el eje $Y$ (

x = z = 0

4y - d = 0 \Rightarrow y = \dfrac{d}{4}

, así que

B = \left(0, \dfrac{d}{4}, 0\right)

.

Corte con el eje $Z$ (

x = y = 0

-3z - d = 0 \Rightarrow z = -\dfrac{d}{3}

, así que

C = \left(0, 0, -\dfrac{d}{3}\right)

.

c) Vectores.

\overrightarrow{AB} = \left(-\frac{d}{6}, \frac{d}{4}, 0\right), \qquad \overrightarrow{AC} = \left(-\frac{d}{6}, 0, -\frac{d}{3}\right)

(con

d \neq 0

no son el vector cero, y el ángulo tiene sentido).

Producto escalar.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \frac{d^2}{36} + 0 + 0 = \frac{d^2}{36}

Módulos.

\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{\frac{d^2}{36} + \frac{d^2}{16}} = |d|\sqrt{\frac{4 + 9}{144}} = \frac{\sqrt{13}}{12}|d|, \qquad \left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{\frac{d^2}{36} + \frac{d^2}{9}} = |d|\sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt5}{6}|d|

Coseno del ángulo.

\cos\theta = \frac{\dfrac{d^2}{36}}{\dfrac{\sqrt{13}}{12}|d|\cdot\dfrac{\sqrt5}{6}|d|} = \frac{\dfrac{d^2}{36}}{\dfrac{\sqrt{65}}{72}d^2} = \frac{72}{36\sqrt{65}} = \frac{2}{\sqrt{65}} = \frac{2\sqrt{65}}{65} \approx 0{,}2481

Como se esperaba,

d

desaparece.

Ángulo.

\theta = \arccos\frac{2\sqrt{65}}{65} \approx 75{,}64^\circ \approx 75^\circ\,38'

Consejo

En a) el valor absoluto da dos soluciones: un plano a cada lado del origen. Dar solo $d = \sqrt{61}$ es el error que más se repite.

En c) saca $|d|$ de las raíces con su valor absoluto ( $\sqrt{d^2} = |d|$ ) y verás que se simplifica con $d^2$ del numerador. Da el ángulo, no solo el coseno.