Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Enunciado

Se dan las rectas

r: x - 1 = y - 2 = \dfrac{z - 1}{2}

s: \dfrac{x - 3}{-2} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z + 1}{2}

. Se pide:

a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto

P

de intersección. (5 puntos)

b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por

P

y es perpendicular a

r

y a

s

. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Los directores no son proporcionales y

\left[\overrightarrow{AB}, \vec u_r, \vec u_s\right] = 0

: las rectas se cortan en

P = (1, 2, 1)

.

b)

t: (x, y, z) = (1, 2, 1) + \lambda\,(4, -6, 1)

, es decir,

\dfrac{x - 1}{4} = \dfrac{y - 2}{-6} = z - 1

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De las ecuaciones continuas leemos un punto y un vector director de cada recta. Dos rectas se cortan si sus directores no son proporcionales (no son paralelas) y además son coplanarias: el vector que une un punto de cada una es combinación de los dos directores, o sea, el determinante de los tres vale cero. El punto de corte sale igualando las paramétricas.

Para b), un vector perpendicular a la vez a

\vec u_r

y a

\vec u_s

es su producto vectorial; con él y el punto

P

escribimos la recta.

Desarrollo

a) Punto y director de cada recta.

r: \; A = (1, 2, 1), \quad \vec u_r = (1, 1, 2) \qquad\qquad s: \; B = (3, 3, -1), \quad \vec u_s = (-2, -1, 2)

No son paralelas.

\dfrac{1}{-2} \neq \dfrac{1}{-1}

, así que

\vec u_r

\vec u_s

no son proporcionales.

Son coplanarias. Con

\overrightarrow{AB} = (3 - 1, 3 - 2, -1 - 1) = (2, 1, -2)

\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2 + 2) - 1(2 + 4) + (-2)(-1 + 2) = 8 - 6 - 2 = 0

El producto mixto es nulo: las rectas están en un mismo plano y, como no son paralelas, se cortan.

Punto de corte. Paramétricas:

r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = 3 - 2\mu \\ y = 3 - \mu \\ z = -1 + 2\mu \end{cases}

Igualando las dos primeras coordenadas:

1 + \lambda = 3 - 2\mu, \qquad 2 + \lambda = 3 - \mu

Restando la primera de la segunda:

1 = \mu

, y entonces

\lambda = 3 - \mu - 2 = 0

.

Comprobación con la tercera.

z

1 + 2\cdot 0 = 1

-1 + 2\cdot 1 = 1

✓.

P = (1, 2, 1)

(es justo el punto de

r

que se lee en su ecuación continua).

b) Director perpendicular a las dos.

\vec w = \vec u_r \times \vec u_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 2 - 2\cdot(-1),\; 2\cdot(-2) - 1\cdot 2,\; 1\cdot(-1) - 1\cdot(-2)\big) = (4, -6, 1)

Comprobación.

\vec w\cdot\vec u_r = 4 - 6 + 2 = 0

✓ y

\vec w\cdot\vec u_s = -8 + 6 + 2 = 0

✓.

Recta pedida. Pasa por

P = (1, 2, 1)

con director

(4, -6, 1)

t: \begin{cases} x = 1 + 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad t: \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{-6} = \frac{z - 1}{1}

Consejo

Para «comprobar que se cortan» hacen falta dos cosas: que no sean paralelas y que el determinante sea cero. Si solo das el determinante, también valdría para dos rectas paralelas, y el corrector lo nota.

Ojo al leer la ecuación de $s$ : el punto es $(3, 3, -1)$ , con el signo contrario al del numerador $z + 1$ .