Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

a) Determinante de $A$. Desarrollando por la segunda columna (solo tiene un elemento no nulo):$$|A| = 2\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ a & 3 \end{vmatrix} = 2\,(3 - 2a) = 6 - 4a$$Determinante de $A^2$. Por la propiedad $|MN| = |M|\,|N|$:$$|A^2| = |A|^2 = (6 - 4a)^2$$Cuándo hay solución única. Si $|A^2| \neq 0$, $A^2$ tiene inversa y la ecuación se despeja de una sola manera:$$A^2X = B \;\Longrightarrow\; X = (A^2)^{-1}B$$$(6 - 4a)^2 = 0 \iff a = \dfrac{6}{4} = \dfrac32$.

Conclusión. Para $a \neq \dfrac32$ la ecuación tiene una única solución (para cualquier $B$). Para $a = \dfrac32$, $A^2$ no es invertible: el sistema asociado o no tiene solución o tiene infinitas, según cómo sea $B$, pero nunca una única.

b) Cálculo de $A^2$.$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2a & 0 & 8 \\ 9 + a & 4 & 11 \\ 4a & 0 & 2a + 9 \end{pmatrix}$$(por ejemplo, el término $(3,1)$ es $a\cdot 1 + 0\cdot 3 + 3\cdot a = 4a$, y el $(3,3)$, $a\cdot 2 + 0\cdot 1 + 3\cdot 3 = 2a + 9$).

Producto por la solución dada. Si $X = (3, -2, -1)^t$ es solución, entonces $B = A^2X$:$$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2a & 0 & 8 \\ 9 + a & 4 & 11 \\ 4a & 0 & 2a + 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 6a - 8 \\ 27 + 3a - 8 - 11 \\ 12a - 2a - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6a - 5 \\ 3a + 8 \\ 10a - 9 \end{pmatrix}$$Comprobación. Con $a = 0$, $A^2X = (1\cdot 3 + 8\cdot(-1),\; 9\cdot 3 + 4\cdot(-2) + 11\cdot(-1),\; 9\cdot(-1)) = (-5, 8, -9)$, que coincide con $(6a - 5, 3a + 8, 10a - 9)$ en $a = 0$ ✓.