Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

a) Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 0\cdot\begin{vmatrix} \frac13 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - k\begin{vmatrix} k & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} k & \frac13 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -k(-k - 2) + 3\left(-k - \frac23\right)$$$$|A| = k^2 + 2k - 3k - 2 = k^2 - k - 2 = (k - 2)(k + 1)$$Valores que lo anulan. $k^2 - k - 2 = 0 \Rightarrow k = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}$, es decir, $k = 2$ o $k = -1$.

Conclusión. $A$ es invertible para todo $k \neq -1$ y $k \neq 2$.

b) Existe la inversa. Con $k = 0$, $|A| = 0 - 0 - 2 = -2 \neq 0$, y$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & \frac13 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$Adjuntos.$$A_{11} = \left(\tfrac13\right)(-1) - 1\cdot(-1) = \tfrac23, \quad A_{12} = -\big(0\cdot(-1) - 1\cdot 2\big) = 2, \quad A_{13} = 0\cdot(-1) - \tfrac13\cdot 2 = -\tfrac23$$$$A_{21} = -\big(0\cdot(-1) - 3\cdot(-1)\big) = -3, \quad A_{22} = 0\cdot(-1) - 3\cdot 2 = -6, \quad A_{23} = -\big(0\cdot(-1) - 0\cdot 2\big) = 0$$$$A_{31} = 0\cdot 1 - 3\cdot\tfrac13 = -1, \quad A_{32} = -(0\cdot 1 - 3\cdot 0) = 0, \quad A_{33} = 0\cdot\tfrac13 - 0\cdot 0 = 0$$Adjunta traspuesta.$$(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} \frac23 & -3 & -1 \\ 2 & -6 & 0 \\ -\frac23 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Inversa. Dividimos entre $|A| = -2$:$$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} \frac23 & -3 & -1 \\ 2 & -6 & 0 \\ -\frac23 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac13 & \frac32 & \frac12 \\ -1 & 3 & 0 \\ \frac13 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Comprobación. Por ejemplo, la primera fila de $A$ por las columnas de $A^{-1}$: $(0, 0, 3)\cdot\left(-\frac13, -1, \frac13\right) = 1$, $(0, 0, 3)\cdot\left(\frac32, 3, 0\right) = 0$, $(0, 0, 3)\cdot\left(\frac12, 0, 0\right) = 0$. Haciendo el producto completo sale $A\,A^{-1} = I$ ✓.

c) Matriz diagonal genérica. Sea $D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$.

Los dos productos. Multiplicar por $D$ a la derecha multiplica cada columna de $A$ por su elemento de $D$; a la izquierda, cada fila:$$AD = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3c \\ 0 & \frac{b}{3} & c \\ 2a & -b & -c \end{pmatrix}, \qquad DA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3a \\ 0 & \frac{b}{3} & b \\ 2c & -c & -c \end{pmatrix}$$Igualamos término a término.$$3c = 3a, \qquad c = b, \qquad 2a = 2c, \qquad -b = -c$$Todas se reducen a $a = b = c$; los demás términos coinciden siempre.

Conclusión. Las matrices diagonales que conmutan con $A$ son las de la forma$$D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} = a\,I, \qquad a \in \mathbb{R}$$