Matemáticas IIFácil2,5 pts

Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

País Vasco · 2024 · Junio
Enunciado
Tras la realización de un estudio, se ha llegado a la conclusión de que el tiempo medio que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar es de 45 segundos, con una desviación típica de 7,3 segundos, ajustándose los datos a una distribución normal.

a) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos. (1 punto)

b) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos. (1,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
a) P(X>57)=P(Z>1,64)=0,0505P(X > 57) = P(Z > 1{,}64) = 0{,}0505: el 5,05 % de los adultos.

b) P(39<X<57)=P(−0,82<Z<1,64)=0,7434P(39 < X < 57) = P(-0{,}82 < Z < 1{,}64) = 0{,}7434: el 74,34 % de los adultos.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Sea XX = «tiempo, en segundos, que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar», X∼N(45; 7,3)X \sim N(45;\ 7{,}3).

Para usar la tabla de la N(0,1)N(0, 1) hay que tipificar: Z=X−457,3Z = \dfrac{X - 45}{7{,}3}. La tabla solo da P(Z≤z)P(Z \le z) con z≥0z \ge 0, así que:
  • para «más de», usamos el complementario: P(Z>z)=1−P(Z≤z)P(Z > z) = 1 - P(Z \le z);
  • para valores negativos, la simetría: P(Z≤−z)=1−P(Z≤z)P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z).
Al final, la probabilidad se pasa a porcentaje.
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Desarrollo

a) Tipificación.z=57−457,3=127,3≈1,64z = \frac{57 - 45}{7{,}3} = \frac{12}{7{,}3} \approx 1{,}64Probabilidad.P(X>57)=P(Z>1,64)=1−P(Z≤1,64)=1−0,9495=0,0505P(X > 57) = P(Z > 1{,}64) = 1 - P(Z \le 1{,}64) = 1 - 0{,}9495 = 0{,}0505Aguanta más de 57 segundos el 5,05 % de los adultos.

b) Tipificación de los dos extremos.z1=39−457,3=−67,3≈−0,82,z2≈1,64z_1 = \frac{39 - 45}{7{,}3} = \frac{-6}{7{,}3} \approx -0{,}82, \qquad z_2 \approx 1{,}64Probabilidad del intervalo.P(39<X<57)=P(−0,82<Z<1,64)=P(Z<1,64)−P(Z<−0,82)P(39 < X < 57) = P(-0{,}82 < Z < 1{,}64) = P(Z < 1{,}64) - P(Z < -0{,}82)Simetría. P(Z<−0,82)=1−P(Z≤0,82)=1−0,7939=0,2061P(Z < -0{,}82) = 1 - P(Z \le 0{,}82) = 1 - 0{,}7939 = 0{,}2061.P(39<X<57)=0,9495−0,2061=0,7434P(39 < X < 57) = 0{,}9495 - 0{,}2061 = 0{,}7434Aguanta entre 39 y 57 segundos el 74,34 % de los adultos.
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Consejo

Define siempre la variable y su distribución, X∼N(45; 7,3)X \sim N(45;\ 7{,}3), antes de tipificar: es parte del planteamiento que se valora.

Cuando un zz sale negativo, no lo busques en la tabla: usa la simetría P(Z<−z)=1−P(Z<z)P(Z < -z) = 1 - P(Z < z). Y redondea zz a dos decimales, que es lo que admite la tabla.
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