Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Enunciado

Se consideran las curvas de ecuaciones

y = x^2

y = \dfrac{x^2}{3}

y la recta de ecuación

y = x

.

a) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas. (1,25 puntos)

b) Calcula el área de ese recinto. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Recinto con vértices

O(0, 0)

A(1, 1)

B(3, 3)

: por debajo, la parábola

y = x^2/3

O

B

; por arriba, la parábola

y = x^2

O

A

y la recta

y = x

A

B

.

b)

\text{Área} = \dfrac{4}{3}\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para dibujar el recinto necesitamos los puntos de corte de cada par de curvas. Las dos parábolas solo se tocan en el origen, y la recta corta a cada una en el origen y en otro punto. El recinto es un «triángulo curvilíneo» con vértices en el origen y en esos dos puntos.

Lo importante para el área: la curva de abajo es siempre la misma (

y = x^2/3

), pero la de arriba cambia en el punto donde se cortan

y = x^2

y = x

. Por eso el área se parte en dos integrales.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

$y = x^2$ con $y = x$ : $x^2 = x \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 1$ . Puntos $(0, 0)$ y $(1, 1)$ .
$y = \dfrac{x^2}{3}$ con $y = x$ : $x^2 = 3x \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 3$ . Puntos $(0, 0)$ y $(3, 3)$ .
$y = x^2$ con $y = \dfrac{x^2}{3}$ : $x^2 = \dfrac{x^2}{3} \Rightarrow x = 0$ . Solo el origen.

Posición de las curvas. Para

x > 0

\dfrac{x^2}{3} < x^2

. Entre

0

1

x^2 < x

; a partir de

1

x^2 > x

. Entre

0

3

\dfrac{x^2}{3} < x

.

El dibujo. En el primer cuadrante se dibujan las dos parábolas, que salen del origen (la

y = x^2

más empinada y la

y = x^2/3

más abierta), y la recta

y = x

, la bisectriz. El recinto tiene tres vértices: el origen

O(0, 0)

A(1, 1)

B(3, 3)

. Su borde inferior es el arco de

y = x^2/3

desde

O

hasta

B

; el superior, el arco de

y = x^2

desde

O

hasta

A

y después el segmento de la recta

y = x

desde

A

hasta

B

.

b) Planteamiento. Por lo anterior,

\text{Área} = \int_0^1 \left(x^2 - \frac{x^2}{3}\right) dx + \int_1^3 \left(x - \frac{x^2}{3}\right) dx

Primera integral.

\int_0^1 \frac{2x^2}{3}\,dx = \left[\frac{2x^3}{9}\right]_0^1 = \frac{2}{9}

Segunda integral.

\int_1^3 \left(x - \frac{x^2}{3}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{9}\right]_1^3 = \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(\frac12 - \frac19\right) = \frac32 - \frac{7}{18} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}

Área total.

\text{Área} = \frac{2}{9} + \frac{10}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\ \text{u}^2

Comprobación. También se puede restar: el área entre la recta y

y = x^2/3

0

3

\frac{9}{2} - 3 = \frac32

, y le sobra el trozo entre la recta y

y = x^2

0

1

, que mide

\frac12 - \frac13 = \frac16

. Queda

\frac32 - \frac16 = \frac43

✓.

Consejo

El corrector da 0,75 puntos solo por los puntos de corte y 0,5 por el dibujo: calcula los tres cortes y márcalos en la gráfica. Con un buen dibujo se ve enseguida que la curva de arriba cambia en $x = 1$ y que hay que partir la integral.

Si integras de una vez $\int_0^3 (x^2 - x^2/3)\,dx$ o $\int_0^3 (x - x^2/3)\,dx$ , el área sale mal: cada integral tiene que llevar «la de arriba menos la de abajo» de su tramo.