Se sabe que la función f(x) = Ax^4 + Bx^2 + C tiene un extremo relativo cuando x = 1/2 y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 es y = 6x - 2. a) Encuentra los valores de los parámetros A, B y C. (1,5 puntos) b) Encuentra todos los extremos relativos de la función f y razona si son máximos o mínimos. (1 punto)

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Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Enunciado

Se sabe que la función

f(x) = Ax^4 + Bx^2 + C

tiene un extremo relativo cuando

x = 1/2

y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa

x = 1

y = 6x - 2

.

a) Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

. (1,5 puntos)

b) Encuentra todos los extremos relativos de la función

f

y razona si son máximos o mínimos. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 2

B = -1

C = 3

, es decir,

f(x) = 2x^4 - x^2 + 3

.

b) Máximo relativo en

(0, 3)

; mínimos relativos en

\left(-\frac12, \frac{23}{8}\right)

\left(\frac12, \frac{23}{8}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres incógnitas, así que buscamos tres condiciones:

Extremo relativo en $x = \frac12$ (y $f$ derivable): $f'\!\left(\frac12\right) = 0$ .
La tangente en $x = 1$ es $y = 6x - 2$ : eso dice dos cosas. Su pendiente es $f'(1) = 6$ , y el punto de tangencia está en la recta, así que $f(1) = 6\cdot 1 - 2 = 4$ .

Resolvemos el sistema y, con

f

ya conocida, buscamos los ceros de

f'

y los clasificamos con la segunda derivada.

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 4Ax^3 + 2Bx

.

Condición del extremo.

f'\!\left(\tfrac12\right) = 4A\cdot\tfrac18 + 2B\cdot\tfrac12 = \frac{A}{2} + B = 0

Condiciones de la tangente.

f'(1) = 4A + 2B = 6, \qquad f(1) = A + B + C = 4

Sistema. De la primera,

B = -\dfrac{A}{2}

. Sustituyendo en la segunda:

4A - A = 6 \;\Longrightarrow\; A = 2, \qquad B = -1

y de la tercera,

C = 4 - A - B = 4 - 2 + 1 = 3

f(x) = 2x^4 - x^2 + 3

Comprobación.

f'(x) = 8x^3 - 2x

f'\!\left(\frac12\right) = 1 - 1 = 0

✓,

f'(1) = 6

✓ y

f(1) = 4

✓.

b) Puntos críticos.

f'(x) = 8x^3 - 2x = 2x(4x^2 - 1) = 2x(2x - 1)(2x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\quad x = \tfrac12,\quad x = -\tfrac12

Segunda derivada.

f''(x) = 24x^2 - 2

$f''(0) = -2 < 0$ : máximo relativo en $x = 0$ , con $f(0) = 3$ .
$f''\!\left(\pm\frac12\right) = 24\cdot\frac14 - 2 = 4 > 0$ : mínimos relativos en $x = \pm\frac12$ , con

f\!\left(\pm\tfrac12\right) = 2\cdot\frac{1}{16} - \frac14 + 3 = \frac18 - \frac28 + \frac{24}{8} = \frac{23}{8}

(La función es par, así que era de esperar que los dos mínimos fueran simétricos.)

Consejo

El punto fuerte del a) es plantear bien el sistema (1 punto de 1,5): la tangente da dos condiciones, no una. Muchos alumnos usan solo la pendiente $f'(1) = 6$ y olvidan que el punto $(1, f(1))$ también está en la recta.

En el b) no te quedes en los ceros de $f'$ : hay que clasificarlos, con $f''$ o con el signo de $f'$ , y dar el valor de la función en cada extremo.