Dados los puntos P_1(1, 4, 5), P_2(1, 2, -1), P_3(0, -2, 3) y P_4(-2, 0, 1), calcula: a) la ecuación del plano \pi que contiene a los puntos P_2, P_3 y P_4; (1 punto) b) el punto simétrico de P_1 respecto del plano \pi. (1,5 puntos)

a) \pi \equiv y + z - 1 = 0. b) El simétrico de P_1 respecto de \pi es P_1' = (1, -4, -3) (el pie de la perpendicular es M = (1, 0, 1)).

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Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Dados los puntos

P_1(1, 4, 5)

P_2(1, 2, -1)

P_3(0, -2, 3)

P_4(-2, 0, 1)

, calcula:

a) la ecuación del plano

\pi

que contiene a los puntos

P_2

P_3

P_4

; (1 punto)

b) el punto simétrico de

P_1

respecto del plano

\pi

. (1,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\pi \equiv y + z - 1 = 0

.

b) El simétrico de

P_1

respecto de

\pi

P_1' = (1, -4, -3)

(el pie de la perpendicular es

M = (1, 0, 1)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Un plano por tres puntos: con dos vectores que salen de uno de ellos, su producto vectorial da la normal.
b) Para el simétrico de un punto respecto de un plano se siguen tres pasos: la recta que pasa por $P_1$ perpendicular a $\pi$ (su director es la normal); el punto $M$ donde corta al plano, que es el punto medio entre $P_1$ y su simétrico; y de ahí, $P_1' = 2M - P_1$ .

Desarrollo

a) Vectores en el plano. Desde

P_2

\overrightarrow{P_2P_3} = (0 - 1,\ -2 - 2,\ 3 + 1) = (-1, -4, 4), \qquad \overrightarrow{P_2P_4} = (-2 - 1,\ 0 - 2,\ 1 + 1) = (-3, -2, 2)

Normal.

\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_2P_4} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \big(-8 + 8,\ -12 + 2,\ 2 - 12\big) = (0, -10, -10)

Tomamos el proporcional

\vec n = (0, 1, 1)

.

Plano.

y + z + D = 0

y, por

P_2

2 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1

\pi \equiv y + z - 1 = 0

Comprobación.

P_3

-2 + 3 - 1 = 0

✓;

P_4

0 + 1 - 1 = 0

✓.

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $P_1$ . Su director es

\vec n = (0, 1, 1)

r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + \lambda \\ z = 5 + \lambda \end{cases}

Punto de corte con $\pi$ . Sustituyendo en

y + z - 1 = 0

(4 + \lambda) + (5 + \lambda) - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2\lambda + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -4 \;\Longrightarrow\; M = (1, 0, 1)

Simétrico.

M

es el punto medio de

P_1

P_1'

, así que

P_1' = 2M - P_1

P_1' = (2 - 1,\ 0 - 4,\ 2 - 5) = (1, -4, -3)

Comprobación. El punto medio de

(1, 4, 5)

(1, -4, -3)

(1, 0, 1) = M

✓, y

\overrightarrow{P_1P_1'} = (0, -8, -8)

es proporcional a

\vec n

✓. Además,

P_1

P_1'

quedan a la misma distancia del plano y a lados opuestos: al sustituirlos en

y + z - 1

dan

8

-8

Consejo

El corrector puntúa por separado la recta perpendicular a $\pi$ por $P_1$ (0,5 puntos) y el simétrico (1 punto): aunque te equivoques en una cuenta, escribe bien el planteamiento de los tres pasos.

El error típico es dar $M$ como respuesta: $M$ es la proyección de $P_1$ sobre el plano, no su simétrico. Recuerda que el simétrico está al otro lado, a la misma distancia.